PRINCIPIO COSMOLOGICO

IL PRINCIPIO COSMOLOGICO

( fonte principale: Karttunen et. al. Fundamental Astronomy - Springer)

IL PRINCIPIO COSMOLOGICO. Si spera che quando si osservano grandi volumi dell'Universo le loro proprietà medie siano semplici e definite. Nella figura vi è una distribuzione di galassie nel piano. Quando la circonferenza che circonda l'osservatore O diventa più grande la densità media interna diventa praticamente indipendente dalle dimensioni. Lo stesso comportamento accade se non si tiene conto della posizione del centro O: a distanza più piccole la densità varia casualnente ma in un volume abbastanza grande la densità media è costante. Questo è un esempio del principio cosmologico: a parte irregolarità locali l'Universo deve essere visto lo stesso da tutte le posizioni dello spazio. Il principio cosmologico è un'assunzione di grande portata che è stato invocato allo scopo di porre vincoli ad una grande varietà di teorie cosmologiche. Se in aggiunta al pricipio cosmologico vi è anche l'assunzione che l'Universo è isotropo, allora il solo possibile flusso cosmologico è l'espansione globale. In quel caso le differenze delle velocità locali v tra due punti vicini è direttamente proporzionale alla loro separazione, cioè deve essere applicata la Legge di Hubble.
L'universo piano ipotizzato in figura è omogeneo e isotropo, a parte irregolarità locali. L'isotropia di ogni punto implica omogeneità, ma l'omogeneità non richiede l'isotropia. Un esempio di un anisotropo ma omogeneo universo sarebbe uin modello che contiene un campo magnetico costante: poichè il campo ha una ben definita direzione lo spazio non può essere isotropo.

Le osservazioni astronomiche supportano l'omogeneità e l'isotropia del nostro vicino osservabile, la metagalassia. Sulla base del principio cosmologico queste proprietà devono essere estese a tutto l'Universo. Questo perchè il principio cosmologico è intimamente legato al Principio Copernicano che la nostra posizione nell'Universo non è speciale. Da questo principio, è logico assumere che in una scala abbastanza grande, le proprietà locali della metagalassia sono le stesse delle proprietà globali dell'Universo. L'omogeneità e l'isotropia sono importanti significative assunzioni quando proviamo a costruire modelli cosmologici che possono essere confrontati con le osservazioni locali. Devono quindi essere ragionevolmente adottate almeno come ipotesi preliminari.


L'UNIVERSO OMOGENEO E ISOTROPO. Sotto condizioni generali, le coordinate spazio e tempo in un universo possono essere scelte in modo tale che i valori delle coordinate spaziali degli osservatori che si muovono con la materia sono costanti. Si può dimostrare che, in un universo omogeneo ed isotropo, l'elemento di linea ha la forma: $d x^{2} = - c^{2} d t^{2} + R^{2} (t) \cdot [\frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}} + r^{2} (d θ^{2} + \cos^{2} θ d ϕ^{2})]$ che è conosciuto come l'elemento di linea di Robertson-Walker (la coordinata radiale r è definita in modo da essere adimensionale). R(t) è una quantità dipendente dal tempo e rappresenta la scala dell'Universo. Se R cresce con il tempo, tutte le distanze, incluse quelle tra le galassie, cresceranno. Il coefficiente k può essere +1, 0 o -1 e al suo valore corrispondono tre possibili gometrie delle spazio, l'ellittico o chiuso, e i modelli aperti parabolico ed iperbolico. Lo spazio descritto da questio modelli non deve essere necessariamente euclideo ma può avere una curvatura positiva o negatica. A secondo della curvatura il volume dell'universo può essere finito o infinito. Ma in nessun caso si ha un confine visibile.

L'analogia bidimensionale di una geometria ellittica (k=+1) è la superficie di una sfera: l' area della sua superficie è finita ma non ha un limite. Il fattore di scala R(t) rappresenta le dimensioni della sfera. Quando R cambia la distanza tra i punti sulla superficie cambia nello stesso modo. In modo simile una superficie sferica tridimensionale o lo spazio di geometria ellittica ha un volume finito ma non ha limiti. Partendo per una direzione arbitraria e andando abbastanza avanti, si ritorna sempre al punto iniziale. Quando k=0 , lo spazio è piatto o Euclideo, e l'espressione per l'elemento di linea è quasi lo stesso di quello dello spazio di Minkowski. La sola differenza è il fattore di scala R(t). Tutte le distanze in uno spazio euclideo cambiano nel termpo. L'analogo bidimensionale di questo spazio è il piano. Il volume di spazio in una geometria iperbolica (k=-1) è anche infinito. L'immagine bidimensionale della geometria in questo caso è quella della superfice a sella.


Nell'universo omogeneo ed isotropo tutte le quantità fisiche dipendono dal tempo attraverso il fattore di scala R(t). Per esempio dalla forma dell'elemento di linea è evidente che tutte le distanze saranno proporzionali ad R. Allora se la distanza a una galassia è r all'istante t, allora all'istante t₀ (in cosmologia, il pedice 0 si riferisce al presente) sarà: $\frac{R (t_{0})}{R (t)} \cdot r$ . In modo simile, tutti i volumi saranno proporzionali a R³. Da questo segue che la densità di qualsiasi quantità che si conserva (es: massa) si comporterà come 1/R³.

Può essere dimostrato che la lunghezza d'onda della radiazione in un universo in espansione è proporzionale a R, come tutte le altre lunghezze. Se la lunghezza d'onda all'istante di emissione, corrispondente al fattore di scala R, è λ, allora sarà λ₀ quando il fattore di scala sarà cresciuto a R₀ si ha: $\frac{λ_{0}}{λ} = \frac{R_{0}}{R}$ . Il redshisft è $z = \frac{λ_{0} - λ}{λ}$ e quindi : $1 + z = \frac{R_{0}}{R}$ cioè il redshift di una galassia esprime quanto il fattore di scala è cambiato da quando la luce è stata bemessa. Per esempio, la luce da un quasar con z=1 è stata emessa quando tutte le distanze erano la metà del loro valore attuale.

Per piccoli valori del redshift la formula si avvicina alla forma nota della legge di Hubble. Questo può essere visto come segue. Quando z è piccolo la variazione in R durante la propagazione del signale luminoso sarà anche piccola e proporzionale al tempo di traversata della luce t. Poichè t= r/c approssimatamente, dove r è la distanza della sorgente., il redshift sarà proporzionale a r. Se la costante di proporzionalità è H/c si ha $z = \frac{H}{c} \cdot r$ . Questo è formalmente identico alla legge di Hubble. Tuttavia il redshift è ora interpretato nel senso della precedente formula.

Mentre l'universo si espande, i fotoni nella radiazione di fondo subiranno anche loro il redshift. L'energia di ogni fotone è inversamente proporzionale alla lunghezza d'onda e allora si comporteranno come 1/R. Può essere dimostrato che il numero di fotoni si conserverà e allora la loro densità numerica si comporterà come 1/R. La densità di energia della radiazione di corpo nero è proporzionale a T⁴, dove T è la temperatura. Allora la temperatura della radiazione cosmica di fondo deve variare come 1/R.