ROTAZIONE DELLA VIA LATTEA

LA ROTAZIONE DELLA VIA LATTEA

( fonte principale: Karttunen et. al. Fundamental Astronomy - Springer)


LA ROTAZIONE DIFFERENZIALE E LA FORMULA DI OORT. L'appiattimento della Via Lattea ha sempre suggerito la sua rotazione attorno un asse normale al piano galattico. Le osservazioni del moto delle stelle e del gas interstellare hanno mostrato che la rotazione è differenziale. Ciò significa che la velocità angolare dipende dalla distanza dal centro galattico e che la Via Lattea non ruota come un corpo rigido. Dal centro galattico al Sole la velocità di rotazione diminuisce con il raggio. Un modello della rotazione della Via Lattea è stato ricavato da J.H.Oort. Egli suppose che le stelle si muovono di moto circolare attorno il centro galattico (questa approssimazione è in realtà accettabile solo per le stelle di popolazione I).
Se R₀ e V₀ sono il raggio e la velocità del Sole allora la velocità radiale relativa v_r di una stella rispetto al Sole è la differenza tra le proiezioni delle velocità sulla linea di osservazione: $v_{r} = V \cdot \cos α - V_{0} \cdot \sin l$ α è l'angolo tra il vettore velocità della stella e la linea di osservazione. Dalla figura si osserva che l'angolo $C \hat{S} ⊙ = α + 90 °$ . Applicando il teorema dei seni al triangolo CS⊙ si ottiene: $\frac{\sin (α + 90 °)}{\sin l} = \frac{R_{0}}{R}$
da cui $\cos α = \frac{R_{0}}{R} \cdot \sin l$ . Se ω=V/R e ω₀= V₀/R₀ sono le velocità angolari della stella e del Sole, si ottiene sostituendo tutto nella velocità radiale relativa: $v_{r} = V \cdot \frac{R_{0}}{R} \cdot \sin l - V_{0} \cdot \sin l = R_{0} \cdot (\frac{V}{R} - \frac{V_{0}}{R_{0}}) \cdot \sin l = R_{0} \cdot (ω - ω_{0}) \cdot \sin l$ Per la componente tangenziale della velocità relativa esaminando la figura possiamo osservare che : $v_{t} = V \cdot \sin α - V_{0} \cdot \cos l = ωR \cdot \sin α - ω_{0} R_{0} \cdot \cos l$ . Il triangolo ⊙CP ci dà che: $R \cdot \sin α = R_{0} \cdot \cos l - r$ , da cui, sostituendo nella velocità relativa tangenziale,: $v_{t} = ω \cdot (R_{0} \cdot \cos l - r) - ω_{0} \cdot R_{0} \cdot \cos l = R_{0} \cdot (ω - ω_{0}) \cdot \cos l - ωr$ Oort notò che nelle immediate vicinanze del Sole (r≪R₀) la differenza delle due velocità angolari era molto piccola. Allora si può ottenere una buona approssimazione delle equazoni esatte considerando solo il primo termine dello sviluppo in serie di Taylor di ω-ω₀ se R≈R₀: $ω - ω_{0} \approx {(\frac{dω}{dR})}_{R = R_{0}} \cdot (R - R_{0})$ Ma $ω = \frac{V}{R} = \frac{V (R)}{R} \to \frac{dω}{dR} = \frac{R \cdot \frac{dV (R)}{dR} - V (R)}{R^{2}} \to {(\frac{dω}{dR})}_{R = R_{0}} = \frac{1}{R_{0}^{2}} \cdot [R_{0} \cdot {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}} - V (R_{0})]$ da cui, sostituendo: $ω - ω_{0} \approx \frac{1}{R_{0}^{2}} [R_{0} {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}} - V_{0}] \cdot (R - R_{0})$ (si è sostituito anche V(R₀)= V₀). Tornando alla velocità relativa tangenziale se R≈R₀ deve essere anche $R - R_{0} \approx - r \cdot \cos l$ , da cui, sostituendo tutto nella velocità relativa radiale: $v_{r} \approx [\frac{V_{0}}{R_{0}}, - {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}}] \cdot r \cdot \cos l \cdot \sin l = A \cdot r \cdot \sin 2 l$ con $A = \frac{1}{2} \cdot [\frac{V_{0}}{R_{0}}, - {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}}]$ una costante detta prima costante di Oort.
Per la velocità relativa tangenziale si ottiene: $v_{t} \approx [\frac{V_{0}}{R_{0}} - {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}}] \cdot r {\cdot \cos}^{2} l - ω_{0} \cdot r$ (ωr≈ω₀r). Poichè $2 \cdot \cos^{2} l = 1 + \cos 2 l$ , si ottiene: $v_{t} \approx [\frac{V_{0}}{R_{0}} - {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}}] \cdot r \cdot \frac{1 + \cos 2 l}{2} - \frac{V_{0}}{R_{0}} \cdot r = \frac{1}{2} \cdot [\frac{V_{0}}{R_{0}} - {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}}] r \cdot \cos 2 l + \frac{1}{2} \cdot [\frac{V_{0}}{R_{0}} - {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}} - 2 \cdot \frac{V_{0}}{R_{0}}] \cdot r = A \cdot r \cdot \cos 2 l + B \cdot r = (A \cdot \cos 2 l + B) \cdot r$ La costante $B = - \frac{1}{2} \cdot [\frac{V_{0}}{R_{0}} + {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}}]$ è detta seconda costante di Oort.
	Il moto proprio (velocità angolare relativa ) è allora dato da: $μ = \frac{v_{t}}{r} = A \cdot \cos 2 l + B$ La velocità radiale relativa dovrebbe dipendere dal seno del doppio della longitudine galattica. Questa dipendenza è, in effetti, stata osservata e se si riesce a conoscere la distanza relativa r allora è possibile ricavare la prima costante di Oort. Il moto proprio è invece indipendente dalla distanza relativa ma solo dal coseno del doppio della longitudine galattica. Inoltre il suo valore medio corrisponde alla seconda costante di Oort. Nel 1927 sulla base di questa tipo di analisi, Oort verificò che il moto delle stelle osservato indica una otazione differenziale della Via Lattea. I valori delle costanti di Oort oggi sono A= 15 km s^-1 kpc^-1 e B= -10 km s^-1 kpc^-1. Le costanti di Oort obbediscono ad alcune relazioni interessanti. Sottraendo la seconda dalla prima si ottiene: $A - B = \frac{V_{0}}{R_{0}} = ω_{0}$ e addizionandole si ottiene: $A + B = - {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}}$ . Quindi, noti i valori di A e B, possiamo calcolare la velocità angolare del SRL o del Sole che è ω₀= 0.0053 secondi d'arco/anno. La velocità lineare del Sole o del SRL può essere a sua volta calcolata in modo indipendente usando come riferimento oggetti extragalattici. Si è trovato che è V₀≈ 200 km/s. Nota V₀, usando le precedenti relazioni, possiamo calcolare la distanza del Sole dal centro galattico: R₀≈ 8.5 kpc, valore che concorda con la distanza trovata per gli ammassi globulari (il che conferma che siamo alla periferia della Via Lattea). Il periodo orbitale del Sole, dai precedenti dati, risulta essere circa 250 milioni di anni, e, poichè il Sole ha circa 5 miliardi di anni, si deduce che ha fatto 20 rivoluzioni attorno al centro galattico durante la sua attuale vita. All'inizio dell'ultima rivoluzione sono apparsi i mammiferi nella Terra.
LA DISTRIBUZIONE DELLA MATERIA INTERSTELLARE. Le radioonde emesse dal gas interstellare, in particolare dall'idrogeno neutro, sono poco assorbite e diffuse dalle polveri interstellari. Queste radiazioni possono essere usate per comporre una mappa della struttura della Via Lattea su larga scala. Sono anche stati captati segnali radio provenienti dalla parte opposta della Via Lattea. Nonostante ciò la posizione di una sorgente radio all'interno della Via Lattea, per esempio una nube H II, non è possibile determinarla direttamente. Tuttavia ci sono metodi indiretti basati proprio sulla rotazione differenziale della Via Lattea. Nella figura a destra P₁, P₂, P₃,..... sono nubi di gas osservati in direzione l. La velocità angolare cresce proseguendo verso l'interno e allora la più grande velocità angolare lungo la linea di osservazione è ottenuta per la nube P_k la cui direzione di osservazione è tangente ad un'orbita. Questo significa che la velocità radiale delle nubi, per una fissata direzione di osservazione, cresce con la distanza fino a raggiungere una massima velocità per la nube P_k data da: $v_{r, max} = R_{k} \cdot (ω - ω_{0})$ dove $R_{k} = R_{0} \cdot \sin l$ . La distanza della nube P_k dal Sole è $r = R_{0} \cdot \cos l$ , quando r cresce ulteriormente allora v_r comincia a decrescere (vedi figura in basso a sinistra) In figura in basso a destra si può vedere come le diverse concentrazioni di idrogeno neutro in diverse nubi nei bracci delle spirali possono dal luogo allo spettro di emissione osservato. Le linee prodotte da ogni nube hanno lunghezze d'onda che dipendono dalla velocità radiale della nube e un'intensità che dipende dalla massa e dalla densità della nube. Lo spetto di emissione totale è dato dalla somma di tutti questi contributi.
	Mediante numerose osservazioni a varie longitudini galattiche e supponendo che le nubi di gas interstellare formino almeno parzialmente i bracci delle spirali, si è riusciti ad ottenere una mappa dell'idrogeno neutro nel piano della galassia.

Per ottenere le distanze delle nubi di gas bisogna conoscere la curva di rotazione che fornisce la velocità angolare in funzione del raggio galattico. Questa curva è determinata dalle stesse osservazioni sulla velocità radiale e comporta anche assunzioni che riguardano la densità e la rotazione del gas. Ne segue che la mappa della struttura a spirale ottenuta dalle osservazioni radio è comunque ancora imprecisa.
LA ROTAZIONE, LA DISTRIBUZIONE DELLE MASSE E LA MASSA TOTALE DELLA VIA LATTEA. Con le osservazioni a diverse longitudini possiamo usare la formula $v_{r, max} = R_{k} \cdot (ω - ω_{0}) = R_{0} \cdot \sin l \cdot (ω - ω_{0})$ per determinare la velocità angolare del gas a varie distanze dal centro galattico (assumendo però un moto circolare). Così possiamo ricavare la curva di rotazione ω=ω(R) e la corrispondente curva di velocità V=V(R)=ωR. La figura a destra mostra la curva di rotazione della Via Lattea. Si vede che nella parte centrale (5-9 kpc) la Via Lattea ruota in modo simile ad un corpo rigido con la velocità orbitale quasi indipendente dal raggio. Oltre questa regione la velocità diminuisce anche se poi sembra iniziare a crescere gradualmente. La velocità massima è raggiunta a circa 7-8 kpc dal centro. Vicino al Sole, a 8.5 kpc dal centro, la velocità è circa 220 km/s. Era opinione in passato che la velocità avrebbe dovuto diminuire costantemente allontanandoci ulteriormente dal centro della Via Lattea. Infatti dalla III legge di Keplero ( o eguagliando forza gravitazionale e forza centripeta) si può ricavare la massa della Via Lattea con la formula: $M = \frac{R_{0} V_{0}^{2}}{G}$ e, con i valori noti per il Sole di R₀ ≈ 8.5 kpc e V₀≈220 km/s si ottiene M≈1·10¹¹M_⊙ . La velocità di fuga alla distanza R è $V_{f} = \sqrt{\frac{2 GM}{R}} \approx V \sqrt{2}$ . Per il Sole si ricava V_f≈310 km/s. Da questo dato si deduce che non si dovrebbero vedere molte stelle muoversi in direzione della rotazione galattica (l= 90°) con velocità maggiori di 90 km/s rispetto al sistema SRL, perchè la velocità assoluta di queste stelle supera la velocità di fuga. E questo, in effetti, è stato confermato dalle osservazioni.
Tuttavia le considerazioni precedenti sono state basate sull'assunzione che, per punti vicino al Sole, l'intera massa della Via Lattea può essere pensata concentrata in un punto. Se questo fosse vero allora la curva di rotazione deve assumere la dipendenza kepleriana di $\frac{1}{\sqrt{R}}$ . Ma in realtà non è così e ciò può essere confermato con i valori trovati per le costanti di Oort. Infatti la derivata della relazione kepleriana $V = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ è $\frac{dV}{dR} = - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R^{3}}} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{V}{R}$ e, usando le due proprietà delle costanti di Oort, si ricava che $\frac{A - B}{A + B} = \frac{\frac{V_{0}}{R_{0}}}{- {(\frac{dV}{dR})}_{R = R_{0}}} = \frac{\frac{V_{0}}{R_{0}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{V_{0}}{R_{0}}} = 2$ per una curva di rotazione kepleriana. Questo rapporto non concorda con il rapporto trovato con le costanti di Oort osservate ( $\frac{A - B}{A + B} \approx 5$ ) e la dipendenza kepleriana allora non è pienamente applicabile. La curva di rotazione ci permette di studiare la distribuzioni delle masse nella Via Lattea e se si ipotizza una certa disribuzione delle masse occore che questa soddisfi la curva di rotazione. Recentemente sono stati scoperi ammassi globulari molto distanti e questo dimostra che la Via Lattea è più estesa di quanto si pensa. In più i dati di curva di rotazione per oggetti al di fuori dell'orbita solare indicano che la velocità di rotazione ricomincia a crescere (vedi figura) . Questo risultato suggerisce che in realtà la Via Lattea è decine di volte più grande di quanto fino ad ora si è ipotizzato.