MECCANISMI DI RADIAZIONE. ASPETTO QUANTITATIVO ELEMENTARE

Per esaminare un aspetto un pò più quantitativo dei meccanismi di radiazione consideriamo due livelli energetici U e L con EU > EL. Sia nu il numero degli atomi per unità di volume che si trovano nello stato U e nL il numero di atomi per unità di volume che si trovano nello stato L.

Le quantità nU e nL rappresentano le popolazioni dei due livelli. Poichè gli atomi possono essere nello stato U o nello stato L allora nU + nL = n sarà una quantità costante e rappresenta il numero totale di atomi per unità di volume.

È evidente che se c'è una variazione nelle popolazioni deve essere: d n U dt = d n L dt (aumento dell'una uguale alla diminuizione dell'altra).

Si ci può aspettare che il numero degli atomi che dal livello U passano al livello L (la diminuizione) è proporzionale alla popolazione del livello U: d n U dt = A UL n U o anche che d n L dt = A UL n U . Il coefficiente AUL è detto coefficiente di Einstein.

radiationquantitative

La soluzione dell'equazione differenziale d n U dt = A UL n U è n U ( t ) = n U ( 0 ) e A UL t = n U ( 0 ) e t τ U con nU(0) la popolazione del livello U al tempo t=0. τu= 1/AUL è il tempo necessario perchè la popolazione dello stato U diminuisca di un fattore 1/e (circa 37%) rispetto al valore iniziale (con solo il meccanismo dell'emissione spontanea l'unica possibilità sono le transizioni U→ L). Per le transizioni nell'atomo di idrogeno τU≃ 10-8÷10-4 s. L'atomo di idrogeno per emissione spontanea torna allo stato fondamentale rapidamente.

La transizione dal livello U al livello L può anche essere provocata da radiazione incidente (emissione stimolata).

Anche in questo caso la diminuizione temporale della popolazione è proporzionale alla popolazione iniziale ma la costante di proporzionalità (coefficiente di Einstein) sarà legata all'intensità della radiazione incidente (più è elevata l'intensità e più è alta la probabilità che avvenga una emissione stimolata).

In questo caso l'equazione differenziale della popolazione nel livello U è:

d n U dt = I ν B UL n U

Iν è l'intensita monocromatica della radiazione. La soluzione dell'equazione differenziale è:

n U ( t ) = n U ( 0 ) e I ν B UL t

induced
Ma una radiazione incidente può provocare anche il processo opposto, ovvero l'atomo assorbe la radiazione e l'elettrone passa dal livello L al livello U.

In questo caso la transizione sarà favorita non solo dall'intensità della radiazione incidente ma anche dalla abbondanza di atomi nello stato L. Bisogna quindi riferirsi allo stato L e la soluzione dell'equazione differenziale che ne consegue è del tipo:

n L ( t ) = n L ( 0 ) e I ν B LU t

Il coefficiente BLU non è in generale uguale a BUL.

Come detto prima il numero totale di atomi nel livello U o L è costante, da cui :

d n U dt = d n L dt d dt ( n U ( 0 ) e A UL t + n U ( 0 ) e I ν B UL t ) = d dt ( n L ( 0 ) e I ν B LU t ) A UL n U ( t ) I ν B UL n U ( t ) = I ν B LU n L ( t )

E si arriva alla condizione detta di detailed balance:

A UL n U + B UL n U I ν + B LU n L I ν = 0

il cui significato è che la variazione totale degli atomi nel livello U è dovuta alla emissione spontanea o indotta (diminuizione) sommata ad assorbimento della radiazione (aumento).