DA ALTAZIMUTALI AD EQUATORIALI E VICEVERSA. In una precedente nota (↑) sono state trattate le coordinate astronomiche altazimutali ed equatoriali. Ora si ricavano le formule di trasformazione delle coordinate di un oggetto astronomico da un sistema all'altro.

Nella figura c'è una stella (STAR) sulla sfera celeste e le sue coordinate altazimutali, altitudine a e azimut A, ed equatoriali, angolo orario h (al posto dell'ascensione retta) e declinazione δ. Zenit, Polo Nord Celeste e Stella formano un triangolo sferico.

Si può osservare che :

• L'angolo interno di vertice NC ha ampiezza h (angolo orario).
• L'angolo interno di vertice Z ha ampiezza 180-A (supplementare dell'azimut)
• L'angolo centrale (lato) NC-STAR ha ampiezza 90-δ
• L'angolo centrale (lato) NC-Z ha ampiezza 90-ϕ(complementale alla latitudine)
• L'angolo centrale (lato) STAR-Z ha ampiezza 90-a

Dalla terza relazione di Gauss si può scrivere:

$\frac{\sin Z}{\sin \left(\mathrm{NC}-\mathrm{STAR}\right)}=\frac{\sin \mathrm{NC}}{\sin \left(\mathrm{STAR}-Z\right)}\to \frac{\sin \left(180-A\right)}{\sin \left(90-\delta \right)}=\frac{\sin h}{\sin \left(90-a\right)}\to \frac{\sin A}{\cos \delta }=\frac{\sinh }{\cos a}\to \sinh ·\cos \delta =\sin A·\cos A$

$\sin \left(\mathrm{NC}-\mathrm{STAR}\right)·\cos \mathrm{NC}=\cos \left(\mathrm{STAR}-Z\right)·\sin \left(\mathrm{NC}-Z\right)-\sin \left(\mathrm{STAR}-Z\right)·\cos \left(\mathrm{NC}-Z\right)·\cos Z\to$

$\to \sin \left(90-\delta \right)·\cos h=\cos \left(90-a\right)·\sin \left(90-\varphi \right)-\sin \left(90-a\right)·\cos \left(90-\varphi \right).\cos \left(180-A\right)\to \cos \delta ·\cosh =\sin a·\cos \varphi +\cos a·\sin \varphi .\cos A$

Dalla prima relazione di Gauss:

$\cos \left(\mathrm{NC}-\mathrm{STAR}\right)=\cos \left(\mathrm{NC}-Z\right)·\cos \left(\mathrm{STAR}-Z\right)+\sin \left(\mathrm{NC}-Z\right)·\sin \left(\mathrm{STAR}-Z\right)·\cos \left(Z\right)\to$

$\to \cos \left(90-\delta \right)=\cos \left(90-\varphi \right)·\cos \left(90-a\right)-\sin \left(90-\varphi \right)·\sin \left(90-a\right)·\cos (90-A)\to \sin \delta =\sin a·\sin \varphi -\cos \varphi ·\cos a·\sin A$

Riassumendo le equazioni : $\{\begin{array}{c}\sinh ·\cos \delta =\sin A·\cos a\\ \cosh ·\cos \delta =\cos A·\cos a·\sin \varphi +\sin a·\sin \varphi \\ \sin \delta =-\cos A·\cos a·\cos \varphi +\sin a·\sin \varphi \end{array}$         sono le formule di trasformazione da coordinate altazimutali ad equatoriali.

E le equazioni : $\{\begin{array}{c}\sin A·\cos a=\sinh ·\cos \delta \\ \cos A·\cos a=\cos h·\cos \delta ·\sin \varphi -\sin \delta ·\cos \varphi \\ \sin a=\cos h·\cos \delta ·\cos \varphi +\sin \delta ·\sin \varphi \end{array}$         sono le formule di trasformazione da coordinate equatoriali ad altazimutali.

(si ricavano in modo analogo)

Per l'azimut e l'ascensione retta bisogna conoscere sia seno che coseno perchè vanno tra 0° a 360° (o tra 0h a 24h) per poter così individuare il quadrante corretto.