MAGNITUDINI

( fonte principale: Karttunen et. al. Fundamental Astronomy - Springer)


Nell'antichità Ipparco classificò le stelle visibili in sei classi in base alla loro luminosità apparente. Una stella di prima grandezza era il doppio più luminosa di una stella di seconda grandezza e così via. Tuttavia nell'800 si scoprì che l'occhio umano aveva un tipo di risposta logaritmico (in base 10) alla densità di flusso ricevuta. Nel 1856 N.R. Pogson elabora una scala di luminosità di tipo logaritmico che collega le classi di Ipparco (magnitudini) alla densità di flusso con la relazione: $m = - k \cdot \log \frac{F}{F_{0}}$ m è detta magnitudine apparente. Pogson aveva osservato che da una stella di prima grandezza arriva una densità di flusso circa 100 volte superiore rispetto a quello di una stella di sesta grandezza. La densità di flusso in funzione delle magnitudini è $F = F_{0} \cdot 10^{\frac{- m}{k}}$ Per una stella di prima grandezza $F (1) = F_{0} \cdot 10^{\frac{- 1}{k}}$ e per una stella di sesta grandezza $F (6) = F_{0} \cdot 10^{- \frac{6}{k}} = F_{0} \cdot 10^{\frac{- 1}{k}} \cdot 10^{\frac{- 5}{k}} = F (1) \cdot 10^{\frac{- 5}{k}}$ Ma, dalle osservazioni, $\frac{F (1)}{F (6)} = 100 \to 100 = 10^{\frac{5}{k}} \to \frac{5}{k} = 2 \to k = 2.5$ . La scala delle magnitudini in funzioni delle densità di flusso è : $m = - 2.5 \cdot \log \frac{F}{F_{0}} = - 2.5 \cdot \log F + 2.5 \cdot \log F_{0} = - 2.5 \cdot \log F + \cos t$ Con questa formula si possono collegare la magnitudine apparente m con la densità di flusso F per una certa stella, se è nota la densità di flusso corrispondente alla magnitudine m=0. Per due stelle di nota magnitudine m₂ e m₁ il rapporto delle densità di flusso è: $\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{10^{\frac{{- m}_{1}}{2.5}}}{10^{\frac{- m_{2}}{2.5}}} = 10^{\frac{m_{2} - m_{1}}{2.5}} = {(10^{0.4})}^{m_{2} - m_{1}} ≃ {2.5}^{m_{2} - m_{1}}$ e per due stelle con note densità di flusso F₁ e F₂ la differenza delle magnitudini è : $m_{2} - m_{1} = - 2.5 \log \frac{F_{2}}{F_{1}}$ Per la misura della magnitudine occorre conoscere la densità di flusso F₀ corrispondente alla magnitudine m=0. In pratica per la misura delle magnitudini occorre fare riferimento allo strumento e il metodo usato perchè è impossibile misurare la densità di flusso della radiazione per tutte le frequenze . Quali metodi e strumenti sono usati ? L'occhio umano è più sensibile alla radiazione verde di lunghezza d'onda 550 nm, un pò meno al rosso e al violetto. La magnitudine corrispondente alla sensibilità dell'occhio umano è la magnitudine visuale. Le lastre fotografiche sono più sensibili al blu ma anche a radiazioni non visibili all'occhio umano. In questo caso si misurano le magnitudini fotografiche che differiscono dalle magnitudini visuali. La sensibilità dell'occhio umano può essere però simulata usando un filtro giallo e lastre maggiormente sensibili alla luce gialla e verde. Le magnitudini così registrate sono le magnitudini fotovisuali m_pv Attualmente l'acquisizione elettronica delle immagini moltiplica i metodi e gli stumenti usati anche in relazione ai filtri ottici interposti. In questo caso si misurano le magnitudini fotoelettriche Attualmente le più accurate misure di magnitudini sono fatte usando fotometri fotoelettrici con filtri ottici interposti in modo da selezionare la banda passante. Sono cinque i principali filtri che vengono interposti davanti al rivelatore : U (Ultravioletto), B (Blu), V (Visuale-Verde), R (Rosso), I (Infrarosso). Ogni filtro fornisce una diversa risposta al rivelatore; si può avere la banda-V o la banda U e così via. Per le magnitudini fotoeletriche sono stati elaborati diversi metodi di misura relativi soprattutto ai filtri ottici usati. Le principali scale usate sono Vega e AB. La scala Vega è detta anche scala UBV ed è stata sviluppata nel 1950 da Johnson e Morgan. In questo sistema le magnitudini sono misurate usando i filtri U, B e V (in seguito sono state aggiunte altre bande). La differenza tra due magnitudini di diversa banda è detta indice di colore. Nella scala UBV si definiscono due indici di colore U-B e B-V. Le costanti F₀ per le magnitudini U, B e V sono scelte in modo tale che gli indici di colore B-V e U-B sono zero per le stelle di classe spettrale tipo A0. Stella di riferimento è Vega (α-Lyr), di classe spettrale A0V. Posto B-V=U-B=0.00 si ricava per Vega V= 0.03. Per il Sole V=-26.8, B-V=0.62 e U-B=0.10. La scala AB monocromatica è definita ponendo F₀= 3635 Jansky. Con questa scelta si ricava $m = - 2.5 \log F_{ν} - 48.6$ (ma F_ν deve essere espressa in erg sec^-1 cm^-2 Hz^-1 ) . La costante è stata scelta in modo che F₀ è la densità di flusso di radiazione a metà della banda-V (548 nm) di α-Lyr Se si riesce a misurare la densità di flusso per tutte le frequenze si hanno le magnitudini bolometriche. Qualunque sia il metodo per la misura delle magnitudini tutte differiscono da quelle bolometriche. Si definisce correzione bolometrica BC la differenza tra la magnitudine visuale e quella bolometrica: $BC = m_{v} - m_{bol} \to m_{bol} = m_{v} - BC$ La correzione bolometrica è praticamente zero per le stelle di tipo solare (classe spettrale F5) perchè i nostri occhi sono più sensibili alla radiazione di tipo solare. Ma le magnitudini apparenti non tengono conto delle distanze delle stelle. Per esempio Sirio è due volte più lontana di α-Centauri ma la sua magnitudine apparente è inferiore: è più brillante. Questo si spiega con fatto che Sirio irradia un flusso luminoso maggiore di α-Centauri. Per attribuire una quantità assoluta alle stelle che renda conto della loro luminosità viene definita la magnitudine assoluta (anche se dalla Terra possiamo misurare solo magnitudini apparenti) La magnitudine assoluta M è la magnitudine apparente che avrebbe una stella se fosse poste ad una distanza di 10 pc (parsecs) dalla Terra. Il flusso luminoso L emesso da una stella non dipende dalla distanza. La densità di flusso irradiata in una superficie sferica di raggio r dalla stella è $F (r) = \frac{L}{4 π r^{2}}$ . Su una superficie sferica a distanza 10 pc dalla stella la densità di flusso è $F (10 pc) = \frac{L}{4 π {10 pc}^{2}}$ . Il loro rapporto è: $\frac{F (r)}{F (10 pc)} = {(\frac{10 pc}{r})}^{2}$ . Allora la differenza delle magnitudini è: $m (r) - m (10 pc) = - 2.5 \cdot \log \frac{F (r)}{F (10 pc)} \to m - M = - 2.5 \cdot \log {(\frac{10 pc}{r})}^{2} \to m - M = 5 \cdot \log \frac{r}{10 pc} \to m - M = 5 \cdot \log r - 5 \cdot \log 10 pc \to m - M = 5 \cdot \log r - 5$ ma la formula è valida solo se la distanza r è espressa in parsec ( e bisogna conoscerla per calcolare M). Si possono calcolare magnitudini assolute di tipo M_U, M_V o bolometriche. Le magnitudini assolute possono essere anche espresse in funzione del flusso di radiazione (luminosità) al posto della distanza. Sia F_⊙ la densità di flusso del Sole posto alla distanza di 10pc ed F la densità di flusso di una stella sempre posta alla distanza di 10 pc. Si può scrivere (magnitudini bolometriche) : $M_{bol} - M_{bol ⊙} = - 2.5 \cdot \log \frac{F}{F_{⊙}}$ per definizione stessa di magnitudine assoluta. Sostituendo le luminosità al posto delle densità di flusso si ricava: $M_{bol} - M_{bol ⊙} = - 2.5 \cdot \log \frac{L}{L_{⊙}}$ . La magnitudine assoluta bolometrica M_bol= 0 corrisponde ad una luminosità L₀= 3.0·10²⁸W. Infatti note L_⊙= 3.846·10²⁶ W e M_bol⊙= +4.74 luminosità e magnitudine bolometrica del Sole si ricava (posta M_bol= 0) : $L_{0} = L_{⊙} \cdot 10^{\frac{M_{⊙}}{2.5}} = 3.846 \cdot 10^{26} \cdot 10^{\frac{4.74}{2.5}} ≃ 3.0 \cdot 10^{28}$ W