MASSA DI JEANS

Uguagliando variazione di energia cinetica e gravitazionale della nube si ricava:

$\frac{G M^{2}}{R^{2}} = n_{V} kT \cdot 4 π R^{2} \to M^{2} = \frac{n_{V} kT \cdot 4 π}{G} \cdot R^{4}$

Il numero di particelle per unità di volume è dato dall'espressione:

$n_{V} = \frac{N}{V} = \frac{\frac{M}{m}}{\frac{4}{3} π R^{3}} \to R^{3} = \frac{3}{4 πm} \cdot \frac{M}{n_{V}} \to R = {(\frac{3}{4 πm})}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{M^{\frac{1}{3}}}{n_{V}^{\frac{1}{3}}}$

Sostituendo il raggio R nella precedente espressione:

$M^{2} = \frac{n_{V} kT \cdot 4 π}{G} \cdot {(\frac{3}{4 πm})}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{M^{\frac{4}{3}}}{n_{V}^{\frac{4}{3}}} \to M^{2 - \frac{4}{3}} = n_{V}^{1 - \frac{4}{3}} \cdot \frac{4 πkT}{G} \cdot {(\frac{3}{4 πm})}^{\frac{4}{3}} \to M^{\frac{2}{3}} = n_{V}^{- \frac{1}{3}} \cdot \frac{4 πkT}{G} \cdot {(\frac{3}{4 πm})}^{\frac{4}{3}}$

Ora si ricava la massa di Jeans:

$M = n_{V}^{\frac{3}{2} \cdot - \frac{1}{3}} \cdot {(4 π)}^{\frac{3}{2} - \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}} \cdot {(\frac{k}{G})}^{\frac{3}{2}} \cdot T^{\frac{3}{2}} \cdot {(\frac{3}{m})}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}} = n_{V}^{- \frac{1}{2}} \cdot {(4 π)}^{- \frac{1}{2}} \cdot {(\frac{k}{G})}^{\frac{3}{2}} \cdot T^{\frac{3}{2}} \cdot {(\frac{3}{m})}^{2}$

Ponendola nella forma con i radicali si ha:

$M = \sqrt{\frac{{81 \cdot k}^{3}}{4 π {m^{4} G}^{3}}} \cdot \sqrt{\frac{T^{3}}{n_{V}}}$

In unità di masse solari:

$M = \sqrt{\frac{81 \cdot k^{3}}{4 π m^{4} G^{3}}} \cdot \sqrt{\frac{T^{3}}{n_{V}}} \cdot \frac{M_{⊙}}{2 \cdot 10^{30}}$