INTERAZIONI GRAVITAZIONALI TRA DUE CORPI

Le forze di attrazione gravitazionale tra Sole e Pianeta sono uguali e opposte secondo il III° Principio della Dinamica:

F PS = G mM · r 2 r 1 r 3     e    F SP = G mM · r 1 r 2 r 3

Per il II° Principio della Dinamica:

m a P = F PS = G mM · r 2 r 1 r 3

Queste equazioni vettoriali sono equivalenti a tre equazioni scalari. Per il pianeta:

{ m x . . 2 = G mM · x 2 x 1 r 3 m y . . 2 = G mM · y 2 y 1 r 3 m z . . 2 = G mM · z 2 z 1 r 3

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Per il Sole: { M x . . 1 = G mM · x 1 x 2 r 3 M y . . 1 = G mM · y 1 y 2 r 3 M z . . 1 = G mM · z 1 z 2 r 3 .              Semplificando in questi due sistemi le loro masse e sottraendo le corrispondenti equazioni si ottiene:

{ x . . 2 x . . 1 = G M · x 2 x 1 r 3 + G m · x 1 x 2 r 3 = G ( M + m ) · x 2 x 1 r 3 y . . 2 y . . 1 = G M · y 2 y 1 r 3 + G m · y 1 y 2 r 3 = G ( M + m ) · y 2 y 1 r 3 z . . 2 z . . 1 = G M · z 2 z 1 r 3 + G m · z 1 z 2 r 3 = G ( M + m ) · z 2 z 1 r 3 .

Ora si passa al sistema di coordinate con origine nel Sole (coordinate ridotte) ponendo:

{ x 2 x 1 = ξ y 2 y 1 = η z 2 z 1 = ζ       e       μ = G · ( m + M ) (massa ridotta) { ξ . . = μ · ξ r 3 η . . = μ · η r 3 ζ . . = μ · ζ r 3

Moltiplichiamo l'equazione in ξ con η e con ζ , poi l'equazione in η con ζ e con ξ, e infine l'equazione in ζ con ξ e con η (in modo ciclico ξ→η→ζ) . Si ottengono sei equazioni:

{ ξ . . η = µ · ξη r 3 ξ . . ζ = µ · ξζ r 3     ;     { η . . ζ = µ · ηζ r 3 η . . ξ = µ · ηξ r 3     ;     { ζ . . ξ = µ · ζξ r 3 ζ . . η = µ · ζη r 3

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Ora sottraiamo le equazioni che hanno il secondo membro uguale, si ottiene il sistema: { ξ . . η η . . ξ = 0 η . . ζ ζ . . η = 0 ζ . . ξ ξ . . ζ = 0     . Adesso sommiamo e sottraiamo due uguali quantità    { ξ . . η + ξ . η . ξ . η . η . . ξ = 0 η . . ζ + η . ζ . η . ζ . ζ . . η = 0 ζ . . ξ + ζ . ξ . ζ . ξ . ξ . . ζ = 0

Ogni equazione del sistema precedente è uguale al sistema di equazioni differenziali : { d dt ( ξ . η η . ξ ) = 0 d dt ( η . ζ ζ . η ) = 0 d dt ( ζ . ξ ξ . ζ ) = 0 , che integrato, produce il sistema : { ξ . η η . ξ = C η . ζ ζ . η = A ζ . ξ ξ . ζ = B

Adesso moltiplichiamo ogni equazione dl sistema con la coordinata ridotta non presente: { ξ . ηζ η . ξζ = η . ζξ ζ . ηξ = ζ . ξη ξ . ζη = e sommiamo le tre equazioni. Si vede che ci sono tre coppie di termini uguali e opposti. Si ricava, sommando le tre equazioni,:

+ + = 0

Questa è l'equazione di un piano nelle coodinate cartesiane ξ, η e ζ. L'equazione del moto del pianeta avviene in un piano a cui appartiene il Sole.

Poichè il moto avviene in un piano consideriamo un sistema bidimensionale con sempre il Sole nell'origine.

L'equazioni del moto del pianeta saranno:

{ x . . + µ · x r 3 = 0 y . . + µ · y r 3 = 0

in analogia con la forma ottenuta per le coordinate ridotte ξ, η e ζ.

Dato il sistema fisico (moto in campo centrale), è opportuno passare alle coordinate polari (r,θ).

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Se r . . è l'accelerazione del raggio polare, α e β le componenti cartesiane di r . . rispetto alla direzione r , x . . e y . . le componenti cartesiane di r . . rispetto gli assi cartesiani, si ha, osservando la figura:

{ x = r · cos θ y = r · sin θ   ,   { x . . = r . . · cos φ y . . = r . . · sin φ    e    { α = r . . · cos ( φ θ ) β = r . . · sin ( φ θ )

Sviluppiamo la terza e vi sostituiamo la seconda:

{ α = r . . · cos φ · cos θ + r . . · sin φ · sin θ = x . . · cos θ + y . . · sin θ β = r . . · sin φ · cos θ r . . · sin θ · cos φ = y . . · cos θ x . . · sin θ

Deriviamo due volte la prima:

{ x . = r . · cos θ r · θ . · sin θ y . = r . · sin θ + r · θ . · cos θ

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{ x . . = r . . · cos θ r . · θ . · sin θ r . · θ . · sin θ r · θ . . · sin θ r θ . 2 · cos θ = r . . · cos θ 2 · r . · θ . · sin θ r · θ . . · sin θ r · θ . 2 · cos θ y . . = r . . · sin θ + r . · θ . · cos θ + r . · θ . · cos θ + r · θ . . · cos θ r · θ . 2 · sin θ = r . . · sin θ + 2 · r . · θ . · cos θ + r · θ . . · cos θ r · θ . 2 · sin θ

Sostituiamo le accelerazioni x . . e y . . nelle coordinate α e β:

{ α = r . . · cos 2 θ 2 · r . · θ . · sin θ · cos θ r · θ . . · sin θ · cos θ r · θ . 2 · cos 2 θ + r . . · sin 2 + 2 · r . · θ . · cos θ · sin θ + r · θ . . · cos θ · sin θ r · θ . 2 · sin 2 θ = r . . r · θ . 2 β = r . . · sin θ · cos θ + 2 · r . · θ . · cos 2 θ + r · θ . . · cos 2 θ r · θ . 2 · sin θ · cos θ r . . · sin θ · cos θ + 2 · r . · θ . · sin 2 θ + r · θ . . · sin 2 θ + r · θ . 2 · sin θ · cos θ = 2 · r . · θ . + θ . . · r

Queste sono le coordinate cartesiane α e β dell'accelerazione r . . poste in funzione delle coordinate polari r e θ.

Sostituiamo ora in α e β le accelerazioni x . . e y . . ricavate dall'equazioni del moto del pianeta:

{ α = x . . · cos θ + y . . · sin θ = µ · x r 3 · cos θ µ · y r 3 · sin θ = µ r 3 · ( x · cos θ + y · sin θ ) = µ r 3 · ( r · cos 2 θ + r · sin 2 θ ) = µ r 2 β = y . . · cos θ x . . · sin θ = µ · y r 3 · cos θ + µ · x r 3 · sin θ = µ r 3 · ( x · sin θ y · cos θ ) = µ r 3 · ( x · y r y · x r ) = 0

Confrontando i due sistemi con α e β possiamo scrivere:

{ r . . r · θ . 2 = µ r 2 2 · r . · θ . + θ . . · r = 0

Utilizzando la seconda equazione si ricava che: 2 · r . · θ . + θ . . · r = 1 r · ( 2 · r · r . · θ . + θ . . · r 2 ) = 1 r · d dt ( r 2 · θ . ) r 2 · θ . = costante che dimostra la II Legge di Keplero: "Il raggio vettore descrive aree uguali in tempi uguali".

Infatti l'area del triangolo infinitesimo con angolo al vertice dθ definito dal Sole e da due posizioni del pianeta lungo la sua orbita è:

dA = 1 2 · r · rdθ = 1 2 · r 2 ·

Quindi la variazione temporale dell'area è:

dA dt = 1 2 · r 2 · dt = 1 2 · r 2 · θ .

Per quanto detto prima:

r 2 · θ . = 2 · dA dt = costante

che esprime la II legge di Keplero.

D'ora in avanti la costante sarà rappresntata da h.

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Passiamo ora a dimostrare la I legge di Keplero. Riprendiamo le equazioni del moto in coordinate polari: { r . . r · θ . 2 = µ r 2 r 2 · θ . = h θ . = h r 2

Passiamo a un sistema di coordinate polari (u,θ) con u = 1 r r = 1 u e cerchiamo di esprimere le equazioni del moto temporali in coordinate polari come un'equazione di tipo parametrico tra le coordinate u e θ in modo da ricavare l'equazione del luogo dei punti percorso dall'orbita.

Occorre ricavare r . = d dt ( 1 u ) = 1 u 2 · du dt = 1 u 2 · du · dt = 1 u 2 · du · θ . = 1 u 2 · h r 2 · du = h · du e poi r . . = d dt r . = d r . · dt = d r . · θ . = d r . dt · h r 2 = d r . · h u 2 = d ( h · du ) · h u 2 = h 2 u 2 · d 2 u d θ 2

Sostituendo nella prima equazione del moto e utilizzando la seconda si ottiene: h 2 · u 2 · d 2 u d θ 2 1 u · ( h · u 2 ) 2 = µ · u 2 h 2 · u 2 · d 2 u d θ 2 u 3 h 2 = µ u 2 d 2 u d θ 2 + u = µ h 2

La soluzione generale di questa equazione differenziale è: u ( θ ) = µ h 2 · [ 1 + e · cos ( θ ω ) ] con e ed ω costanti di integrazione.

Sostituiamo la coordinata r:

r ( θ ) = 1 u ( θ ) = h 2 µ · [ 1 + e · cos ( θ ω ) ]

questa è l'equazione di una conica in coordinate polari (r,θ) con il polo coincidente con uno dei due fuochi e asse polare passante per i fuochi.

Da cui la I legge di Keplero : l'equazione della traettoria del pianeta è quella di una conica in cui il Sole è in uno dei due fuochi.

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7 Il parametro ω fissa l'orientamento nello spazio dell'asse maggiore ed è il valore di θ quando il pianeta si trova al perielio. Infatti se ω=θ allora cos(θ-ω)=0 ed r(θ)=h²/(1+e) è la minore distanza dal Sole.

I valori dell'eccentricità e determinano il tipo di conica:

  • se e= 0 la traettoria è una circonferenza (pianeti)
  • se 0 < e < 1 la traettoria è un'ellisse (pianeti, asteroidi e comete)
  • se e=1 la traettoria è una parabola (caso di alcune comete)
  • se e > 1 la traettoria è un'iperbole (caso di alcune comete)

Se il perielio è nella posizione con θ=0 e posto l= h²/µ (parametro dell'orbita o latus rectum ), l'equazione della traettoria del pianeta è:

r ( θ ) = l 1 + e · cos θ

Se invece è l'afelio nella posizione con θ=0, r(0) = h²/(1-e) (la maggiore distanza dal Sole) l'equazione della traettoria del pianeta è:

r ( θ ) = l 1 e · cos θ

È possibile trovare il parametro dell'orbita h per una orbita ellittica, noto il periodo orbitale P, l'eccentricità e ed il semiasse maggiore a .

Bisogna ricordare che, per un'ellisse scritta in forma canononica, : Area = π · a · b e b 2 = a 2 ( 1 e 2 )

Infatti: h = 2 · Area P = 2 · π · a · b P = 2 πa · a 1 e 2 P = 2 π a 2 1 e 2 P

Se una conica è espressa in coordinate polari, il parametro dell'orbita l è legato ai semiassi dall'equazione: l = b 2 a = a · ( 1 e 2 )

Ma poichè l = h 2 µ sostituendo i valori d h ed l si trova:

a · ( 1 e 2 ) = h 2 µ = 1 µ · 4 π 2 a 4 ( 1 e 2 ) P 2 a 3 P 2 = µ 4 π 2 = G ( M + m ) 4 π 2

che è la III legge di Keplero: il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore e il quadrato del periodo è costante (e quasi indipendente dalla massa del pianeta)

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VELOCITÀ DI UN PIANETA NELLA SUA ORBITA.

Un pianeta nella sua orbita attorno al Sole sarà caratterizzato da una velocità composta da due componenti vr radiale (er) e vθ tangenziale (eθ).

Ricordiando che, in coordinate polari, { v r = r . v θ = r · θ . , il quadrato della velocità sarà : v 2 = v r 2 + v θ 2 = r . 2 + r 2 · θ . 2

Bisogna ora esprimere le due velocità in funzione ai parametri orbitale e di r e θ.

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Abbiamo visto che () : r . = h · du r . = h · d ( µ h 2 · ( 1 + e · cos ( θ ω ) ) ) = h · ( µ h 2 · e · sin ( θ ω ) ) = µ h · e · sin ( θ ω )

Inoltre () r 2 · θ . = h r · θ . = h r = h · u h · µ h · ( 1 + e · cos ( θ ω ) ) = µ h · ( 1 + e · cos ( θ ω ) )

Adesso sostituiamo quanto ricavato nell'equazione della velocità:

v 2 = r . 2 + r 2 · θ . 2 = µ 2 h 2 · e 2 · sin 2 ( θ ω ) + µ 2 h 2 · ( 1 + e · cos ( θ ω ) ) 2 = µ 2 h 2 · ( 1 + e 2 + 2 · e · cos ( θ ω ) ) = µ 2 h 2 · ( 2 + 2 e · cos ( θ ω ) ( 1 e 2 ) )

Sostituendo la soluzione generale: u = µ h 2 · ( 1 + e · cos ( θ ω ) ) si trova (ricordando che a = h 2 µ ( 1 e 2 ) ()):

v 2 = 2 µ · u µ 2 h 2 · ( 1 e 2 ) = 2 µ r µ a = µ ( 2 r 1 a )

Quest'ultima formula è fondamentale in quanto dimostra che, fissato a, la velocità varia con r, aumentando o diminuendo mentre il pianeta rispettivamente si avvicina o allontana dal Sole. Dimostra anche che i pianeti più distanti (grandi valori di a) hanno velocità minori di quelli più vicini al Sole.

















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