Le forze di attrazione gravitazionale tra
Sole e Pianeta sono uguali e opposte secondo il III° Principio della
Dinamica:
e
Per il II° Principio della Dinamica:
Queste equazioni vettoriali sono equivalenti a tre equazioni
scalari. Per il pianeta:
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Per il Sole:
. Semplificando in questi due sistemi le loro masse
e sottraendo le corrispondenti equazioni si ottiene:
.
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Ora si passa al sistema di coordinate con origine nel
Sole (coordinate ridotte) ponendo:
e (massa ridotta)
Moltiplichiamo l'equazione in ξ con η e con ζ ,
poi l'equazione in η con ζ e con ξ, e infine
l'equazione in ζ con ξ e con η (in modo ciclico
ξ→η→ζ) . Si ottengono sei equazioni:
; ;
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Ora sottraiamo le equazioni
che hanno il secondo membro uguale, si ottiene il sistema:
. Adesso sommiamo e sottraiamo due uguali quantità
Ogni equazione del sistema precedente è uguale al sistema di
equazioni differenziali :
, che integrato, produce il sistema :
Adesso moltiplichiamo ogni equazione dl sistema con la coordinata
ridotta non presente: e sommiamo le tre equazioni. Si vede che ci sono tre coppie di
termini uguali e opposti. Si ricava, sommando le tre equazioni,:
Questa è l'equazione di un piano nelle coodinate cartesiane ξ,
η e ζ. L'equazione del moto del pianeta avviene in
un piano a cui appartiene il Sole.
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Poichè il moto avviene in un piano consideriamo un sistema
bidimensionale con sempre il Sole nell'origine.
L'equazioni del moto del pianeta saranno:
in analogia con la forma ottenuta per le coordinate ridotte ξ,
η e ζ.
Dato il sistema fisico (moto in campo centrale), è opportuno passare
alle coordinate polari (r,θ).
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Se è l'accelerazione del raggio polare, α e β le
componenti cartesiane di
rispetto alla direzione r ,
e le componenti cartesiane di
rispetto gli assi cartesiani, si ha, osservando la figura:
, e
Sviluppiamo la terza e vi sostituiamo la seconda:
Deriviamo due volte la prima:
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Sostituiamo
le accelerazioni e nelle coordinate α e β:
Queste sono
le coordinate cartesiane α e β dell'accelerazione
poste in funzione delle coordinate polari r e θ.
Sostituiamo
ora in α e β le accelerazioni
e ricavate dall'equazioni del moto del pianeta:
Confrontando i due sistemi con α e
β possiamo scrivere:
Utilizzando la seconda equazione si
ricava che: che dimostra la II Legge di Keplero: "Il raggio vettore
descrive aree uguali in tempi uguali".
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Infatti l'area del triangolo infinitesimo con angolo al
vertice dθ definito dal Sole e da due posizioni del pianeta lungo
la sua orbita è:
Quindi la variazione temporale dell'area è:
Per quanto detto prima:
che esprime la II legge di Keplero.
D'ora in avanti la costante sarà rappresntata da h.
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Passiamo ora a dimostrare la I legge di Keplero.
Riprendiamo le equazioni del moto in coordinate polari:
Passiamo a un sistema di coordinate polari (u,θ) con
e cerchiamo di esprimere le equazioni del moto temporali in
coordinate polari come un'equazione di tipo parametrico tra le
coordinate u e θ in modo da ricavare l'equazione del luogo dei
punti percorso dall'orbita.
Occorre ricavare
e poi
Sostituendo nella prima equazione del moto e utilizzando la seconda
si ottiene:
La soluzione generale di questa equazione differenziale è:
con e ed ω costanti di integrazione.
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Sostituiamo la coordinata r:
questa è l'equazione di una conica in
coordinate polari (r,θ) con il polo coincidente con uno dei due
fuochi e asse polare passante per i fuochi.
Da cui la I legge di Keplero :
l'equazione della traettoria del pianeta è quella di una conica
in cui il Sole è in uno dei due fuochi.
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Il parametro ω fissa l'orientamento nello spazio
dell'asse maggiore ed è il valore di θ quando il pianeta
si trova al perielio. Infatti se ω=θ allora
cos(θ-ω)=0 ed r(θ)=h²/(1+e) è la minore
distanza dal Sole.
I valori dell'eccentricità e determinano il tipo di
conica:
- se e= 0 la traettoria è una circonferenza (pianeti)
- se 0 < e < 1 la traettoria è un'ellisse (pianeti,
asteroidi e comete)
- se e=1 la traettoria è una parabola (caso di alcune
comete)
- se e > 1 la traettoria è un'iperbole (caso di alcune
comete)
Se il perielio è nella posizione con θ=0 e posto l=
h²/µ (parametro dell'orbita o latus rectum ),
l'equazione della traettoria del pianeta è:
Se invece è l'afelio nella posizione con θ=0, r(0) =
h²/(1-e) (la maggiore distanza dal Sole) l'equazione della
traettoria del pianeta è:
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