Vi trovate sulla superficie di un pianeta sconosciuto che ha lo stesso raggio della Terra. Osservate che lasciando cadere un corpo verso il basso questo percorre 18.34 metri in 0.5 secondi. Determinate la massa del pianeta sconosciuto in kg sapendo che la massa della Terra vale MT = 5.97·1024 kg. Sapendo inoltre che sulla Terra la densità dell’Uranio è di circa 19 g/cm3 e quella dell’Osmio (l’elemento più denso presente in natura) è di circa 22.6 g/cm3 , da cosa pensate possa essere costituito il pianeta sconosciuto ?.

L'accelerazione di gravità nel pianeta, dai dati cinematici,  è: gX=2ht2=218.340.52146.72m/s2g_X=\frac{2h}{t^2}=\frac{2\cdot18.34}{0.5^2}≃146.72 \,m/s^2 L'accelerazione di gravità, dalla legge di Newton, è:gX=GMXRT2g_X=G\frac{M_X}{R_T^2}
Nei dati non abbiamo il raggio della Terra.
Tuttavia conosciamo la g della Terra:RT=GMTgTR_T=\sqrt{G\frac{M_T}{g_T}}Sostituendo nella formula della gX: MX=gXRT2G=gXGGMTgT=gXgTMT=146.729.815.9710248.931025kgM_X=\frac{g_X\cdotR_T^2}{G}=\frac{g_X}{G}\cdotG\frac{M_T}{g_T}=\frac{g_X}{g_T}\cdotM_T=\frac{146.72}{9.81}\cdot5.97\cdot10^{24}≃8.93\cdot10^{25}\,\,kgLa densità del pianeta è data da:

ρX=MXVX=MX43πRX3=34πgXgTMT(GMTgT)3=34πgXG3gTMT=34π146.72(6.6710-11)39.815.97102482425kg/m3=82.425g/cm3\rho_X=\frac{M_X}{V_X}=\frac{M_X}{\frac{4}{3}\piR_X^3}=\frac{3}{4\pi}\frac{g_X}{g_T}\frac{M_T}{\left(\sqrt{G\frac{M_T}{g_T}}\right)^3}=\frac{3}{4\pi}\frac{g_X}{\sqrt{G^3}}\sqrt{\frac{g_T}{M_T}}=\frac{3}{4\pi}\frac{146.72}{\left(\sqrt{6.67\cdot10^{-11}}\right)^3}\cdot\sqrt{\frac{9.81}{5.97\cdot10^24}}≃82425\,\,kg/m^3=82.425\,\,g/cm^3
Il pianeta non può essere costituito da materia ordinaria