La funzione non è continua in x=0.

Per x→0 , $\sqrt{x^5+x^3}\sim x^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$(infatti $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x^5+x^3}}{\sqrt{x^3}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{x^2+1}=1$) e si ha che:

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x^5+x^3}}\mathrm{dx}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^{\frac{1}{3}-\frac{3}{2}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^{-\frac{7}{6}}=+\infty$

Quindi la funzione integranda non è limitata in x=0.

$f\left(x\right)=\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x^5+x^3}}\sim x^{-\frac{7}{6}}$ allora f(x), per x →0⁺, ha un infinito di ordine $\alpha =\frac{7}{6}$ rispetto all'infinito campione $\phi \left(x\right)=\frac{1}{x}$, e, poichè α>1, per il criterio del confronto asintotico, ${\int }_0^1\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x^5+x^3}}\mathrm{dx}$ non è convergente.