La funzione non è continua in x=0.

Per x→0⁺ $\sqrt[3]{x^4+x^3}\sim x$, ( infatti $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt[3]{x^4+x^3}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt[3]{\frac{x^4+x^3}{x^3}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt[3]{x+1}=1$) e si ha che:

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt[3]{x^4+x^3}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x^3}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{\frac{x^3}{x^2}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{x}=0$

Quindi la funzione integranda è infinitesima per x→0⁺.

Infine ∀x∈]0,1] $\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt[3]{x^4+x^3}}<\sqrt{x}$, infatti:

$\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt[3]{x^4+x^3}}<\sqrt{x}\to \frac{\sqrt{\raisebox{1ex}{$x^3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}}{\sqrt[3]{x^4+x^3}}<1\to \frac{\sqrt[3]{x^4+x^3}}{x}>1\to \sqrt[3]{\frac{x^4}{x^3}+1}>1\to \sqrt[3]{x+1}>1$

e poichè $\sqrt{x}$ è integrabile in ]0,1] , per il criterio del confronto, anche la funzione integranda data è integrabile in ]0,1].