La funzione integranda non è continua in x=0.

Per determinare la convergenza consideriamo lo sviluppo di Taylor in x=0 di $\ln \left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)$, possiamo scrivere:

$\ln \left(\frac{x^3+x+1}{x^3+1}\right)=\ln \left(1+\frac{x}{1+x^3}\right)=\frac{x}{1+x^3}-\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{1+x^3}\right)}^2+o\left(x^2\right)$

perchè $\frac{x}{1+x^3}$ è infinitesima per x→0.

Se consideramo l'approssimazione al primo termine e lo sostituiamo nella funzione integranda si ottiene:

$\ln \left(\ln \left(\frac{x^3+x+1}{x^3+1}\right)\right)\sim \ln \left(\frac{x}{1+x^3}\right)$

Ora proviamo ad integrare per parti l'integrale equivalente: ${\int }_0^1\ln \left(\frac{x}{1+x^3}\right)\mathrm{dx}$.

La formula è ${\int }_{}^{}u·v\text{'}\mathrm{dx}=\mathrm{uv}-{\int }_{}^{}v·u\text{'}\mathrm{dx}$

${\int }_{}^{}\ln \left(\frac{x}{1+x^3}\right)\mathrm{dx}=x·\ln \left(\frac{x}{1+x^3}\right)-{\int }_{}^{}\frac{1+x^3}{x}·\frac{1+x^3-3x^2·x}{{(1+x^3)}^2}·\mathrm{xdx}=x·\ln \left(\frac{x}{1+x^3}\right)-{\int }_{}^{}\frac{1-2x^3}{1+x^3}\mathrm{dx}$

La funzione integranda del secondo integrale è definita in x=0.

Inoltre $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x·\ln \left(\frac{x}{1+x^3}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}x·\ln \left(x\right)-\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln \left(1+x^3\right)=0$, dove si è fatto uso del limite notevole $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x·\ln x=0$. Quindi ${\int }_0^1\ln \left(\frac{x}{1+x^3}\right)\mathrm{dx}$ è convergente e si deduce che anche l'integrale dato è convergente.