Determinare per quali valori α∈ℝ+ il seguente integrale generalizzato è convergente: 0 π 2 ( sin x ) α 1 ( cos x ) 2 dx

L'integrale può essere espresso nella forma semplificata: 0 π 2 ( sin x ) α 1 ( cos x ) 2 dx = 0 π 2 ( sin x ) α 2 dx .

La funzione integranda è limitata in x = π 2 qualunque sia l'esponente α-2; il problema della convergenza dell'integrale si pone in x=0.

In x=0 lo sviluppo di Taylor della funzione integranda è: ( sin x ) α 2 ( x + o ( x 2 ) ) α 2 = x α 2 + o ( x 2 α 4 )

L'integrale indefinito: x α 2 dx = x α 2 + 1 α 2 + 1 = x α 1 α 1 . Poichè lim x 0 + x α 1 α 1 è definito se α 1 > 0 α > 1 .

α > 1 è la condizione su α per la convergenza dell'integrale.

1a 1b 1c