La funzione integranda non è continua in x=0.

Sviluppo di Taylor in x=0 del numeratore della funzione integranda:

${\left(\sin x\right)}^{\alpha }={\left(x+o\left(x^2\right)\right)}^{\alpha }=x^{\alpha }+o\left(x^{2\alpha }\right)\to {\left(\sin x\right)}^{\alpha }\sim x^{\alpha }$

Sviluppo di Taylor in x=0 del denominatore della funzione integranda:

${\left(1+x^2\right)}^{\alpha }-1=1+\alpha x^2+o\left(x^2\right)-1=\alpha x^2+o\left(x^2\right)\to {\left(1+x^2\right)}^{\alpha }-1\sim \alpha x^2$

Quindi, sostituendo,:

$\frac{{\left(\sin x\right)}^{\alpha }}{{\left(1+x^2\right)}^{\alpha }-1}\sim \frac{x^{\alpha }}{\alpha x^2}=\frac{1}{\alpha }{x}^{\alpha -2}$

Calcolo dell'integrale indefinito della funzione equivalente:

${\int }_{}^{}\frac{1}{\alpha }{x}^{\alpha -2}\mathrm{dx}=\frac{x^{\alpha -1}}{\alpha (\alpha -1)}$

In conclusione: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^{\alpha -1}}{\alpha (\alpha -1)}=0$ solo se $\alpha -1>0\to \alpha >1$