Possiamo dividere l'integrale in due parti: ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mid 1-x^2-{\cos }^{2}x\mid }{x^{\alpha }}\mathrm{dx}={\int }_0^1\frac{\mid 1-x^2-{\cos }^{2}x\mid }{x^{\alpha }}\mathrm{dx}+{\int }_1^{+\infty }\frac{\mid 1-x^2-{\cos }^{2}x\mid }{x^{\alpha }}\mathrm{dx}$

Per il secondo integrale osserviamo che $\frac{\mid 1-x^2-{\cos }^{2}x\mid }{x^{\alpha }}\sim \frac{1}{x^{\alpha -2}}$ per x→+∞ e che quindi è infinitesima per x→+∞ di ordine $\alpha -2$ rispetto all'infinitesimo campione $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.$ allora, per il criterio del confronto asintotico degli integrali generalizzati, ${\int }_1^{+\infty }\frac{{(1+\cos x)}^{\alpha }}{x^2}\mathrm{dx}$ è convergente se $\alpha -2>1\to \alpha >3$.

Per il primo integrale consideriamo lo sviluppo di Taylor in x=0 di cos x (fino al terzo termine perchè si può prevedere una semplificazione del secondo termine nel numeratore): $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^5\right)$

Lo eleviamo al quadrato tenendo i termini fino a x⁴:

${\left(\cos x\right)}^2={\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^5\right)\right)}^2=1+\frac{x^4}{4}-2·\frac{x^2}{2}+2·\frac{x^4}{24}+o\left(x^5\right)=1-x^2+\frac{x^4}{3}+o\left(x^5\right)$

Quindi $\mid 1-x^2-{\cos }^{2}x\mid \sim \mid 1-x^2-1+x^2-\frac{x^4}{3}\mid =\frac{x^4}{3}$

Sostituendo nel numeratore equivalente per x→0, l'integrale della funzione equivalente diventa:

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\frac{1}{3}\int }_{}^{}{x}^{4-\alpha }\mathrm{dx}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{3}·\frac{x^{5-\alpha }}{5-\alpha }$

Questo limite è finito (=0) solo se $5-\alpha >0\to \alpha <5$ è la condizione per la convergenza dell'integrale dato per x→0.

In conclusione l'integrale dato converge se $3<\alpha <5$