Possiamo dividere l'integrale in due parti: ${\int }_0^{+\infty }\frac{1-\cos x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}={\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}+{\int }_{\pi }^{+\infty }\frac{1-\cos x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}$

Per il secondo integrale osserviamo che, poichè -1 < cosx < 1 ne segue che $\frac{1-\cos x}{x^{\alpha }}\le \frac{2}{x^{\alpha }}$, e poichè ${\int }_{\pi }^{+\infty }\frac{1}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}$ è convergente se α>1, allora, per il criterio del confronto degli integrali generalizzati, anche ${\int }_{\pi }^{+\infty }\frac{1-\cos x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}$ è convergente se α≥1.

Per il primo integrale lo sviluppo di Taylor in x=0 del numeratore è :

$1-\cos x=\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\to 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$

Sostituendo il numeratore equivalente per x→0⁺, l'integrale della funzione equivalente per x→0⁺ diventa:

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\int }_{}^{}\frac{\frac{x^2}{2}}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{2}{\int }_{}^{}{x}^{2-\alpha }\mathrm{dx}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^{3-\alpha }}{3-\alpha }$

Questo limite è finito (=0) solo se $3-\alpha \ge 0\to \alpha <3$ è la condizione per la convergenza dell'integrale dato.

Quindi la condizione generale per la convergenza dell'integrale dato è $1\le \alpha <3$.