Determinare per quali valori di α≥0 il seguente integrale generalizzato è convergente: 1 + x 2 · ln x e αx dx

La funzione integranda è continua in x=1.

Se α=0 la funzione integranda diventa: x 2 · ln x che è infinita per x→+∞ e quindi l'integrale non è convergente.

Se α>0 si può osservare che, da un certo punto in poi, : x 4 · ln x e αx 1 .

Infatti ∀x>0: lnx<x da cui : x 5 e αx > x 4 · ln x e αx .

Inoltre lim x + ( x 5 α e x ) α = 0 , considerando il limite notevole: lim x + e x x c = + se c > 0 .

Quindi, per il teorema del confronto, anche lim x + x 4 · ln x e αx = 0

In conclusione, da un certo punto in poi, x 2 · ln x e αx 1 x 2 e, siccome 1 + 1 x 2 dx è convergente allora, per il criterio del confronto degli integrali generalizzati, anche l'integrale dato converge (se α>0).