Possiamo dividere l'integrale in due parti: ${\int }_0^{+\infty }\frac{1-e^{-x^2}}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}={\int }_0^1\frac{1-e^{-x^2}}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}+{\int }_1^{+\infty }\frac{1-e^{-x^2}}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}$

La funzione integranda del primo integrale non è continua in x=0.

Approssimandola in x=0 con gli sviluppi di Taylor si ottiene: $e^{-x^2}=1-x^2+o\left(x^2\right)\to \frac{{1-e}^{-x^2}}{x^{\alpha }}\sim \frac{x^2}{x^{\alpha }}=x^{2-\alpha }$.

${\int }_{}^{}{x}^{2-\alpha }\mathrm{dx}=\frac{x^{3-\alpha }}{3-\alpha }$ è definito in x=0 se $3-\alpha >0\Rightarrow \alpha <3$.

Per il secondo integrale se x→+∞ si ha che $\frac{1-e^{-x^2}}{x^{\alpha }}\sim \frac{1}{x^{\alpha }}$ .

La funzione $\frac{1}{x^{\alpha }}$ è integrabile per x→+∞ se α>1 .

Quindi, mettendo insieme le due condizioni, l'integrale dato converge se $1<\alpha <3$