Data la circonferenza di raggio r riferista a un sistema cartesiano, in modo che il cerchio ha il centro in C(r,0) eterminare sull'asse x un punto P e sull'asse y un punto Q in modo che la retta PQ incontri la circonferenza in M e N e sia abbia: PN = MN = MQ.

Calcolare il volume V del solido generato dalla rotazione attorno all'asse x del triangolo mistilineo OMQ limitato dall'arco di circonferenza OM e dai segmenti rettilinei OQ e MQ.

Trovare inoltre quale rapporto ha il volume trovato con quello della sfera generata dalla rotazione del cerchio dato.

$\overline{\mathrm{QN}}:\overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{OQ}}:\overline{\mathrm{QM}}$

Posto $a=\overline{\mathrm{QM}}=\overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{NP}}$ , se y₀ è l'ordinata del punto Q si può scrivere:

$2a:y_0=y_0:a\to y_0=\sqrt{2}a$

Se x₀ è l'ascissa del punto P, applicando il teorema di Pitagora, si può scrivere:

$y_0^2+x_0^2=9a^2\to 2a^2+x_0^2=9a^2\to x_0=\sqrt{7}a$

Applicando il teorema delle secanti si può scrivere:

$\overline{\mathrm{PO}}:\overline{\mathrm{PM}}=\overline{\mathrm{PN}}:\overline{\mathrm{PR}}\to x_0:2a=a:\overline{\mathrm{PR}}\to \overline{\mathrm{PR}}=\frac{2a^2}{x_0}=\frac{2a^2}{\sqrt{7}a}=\frac{2}{\sqrt{7}}a$

Ma (ora entrano in gioco le dimensioni della circonferenza) :

$x_0=2r+\overline{\mathrm{PR}}\to \sqrt{7}a=2r+\frac{2}{\sqrt{7}}a\to a=\frac{2}{5}\sqrt{7}r$

e: $x_0=\sqrt{7}a=\sqrt{7}·\frac{2}{5}\sqrt{7}r=\frac{14}{5}r$ , $y_0=\sqrt{2}a=\sqrt{2}·\frac{2}{5}\sqrt{7}r=\frac{2}{5}\sqrt{14}r$

Equazione della retta PQ: $\frac{x-x_P}{x_Q-x_P}=\frac{y-y_P}{y_Q-y_P}\to \frac{x-0}{\frac{14}{5}r-0}=\frac{y-\frac{2}{5}\sqrt{14}r}{0-\frac{2}{5}\sqrt{14}r}\to -\frac{2}{5}\sqrt{14}r·x=\frac{14}{5}r\left(y-\frac{2}{5}\sqrt{14}r\right)\to -\frac{2}{5}\sqrt{14}r·x=\frac{14}{5}r·y-\frac{28}{25}\sqrt{14}{r}^2\to$

$\to -5\sqrt{14}r·x=35r·y-14\sqrt{14}{r}^2\to 5\sqrt{14}x+35y-14\sqrt{14}r=0$

La semicirconferenza è descritta dalla funzione $f\left(x\right)=\sqrt{2rx-x^2}$.

Le coordinate dei punti di intersezione con la circonferenza si trovano risolvendo il sistema: $\{\begin{array}{c}y=\sqrt{2rx-x^2}\\ y=-\frac{\sqrt{14}}{7}x+\frac{2}{5}\sqrt{14}r\end{array}\to$

$\to \sqrt{2rx-x^2}=-\frac{\sqrt{14}}{7}x+\frac{2}{5}\sqrt{14}r\to 2rx-x^2=\frac{14}{49}{x}^2+\frac{56}{25}{r}^2-\frac{56}{35}\mathrm{rx}\to (\frac{14}{49}+1)x^2-2(\frac{28}{35}+1)\mathrm{rx}+\frac{56}{25}{r}^2=0\to \frac{63}{49}{x}^2-2·\frac{63}{35}rx+\frac{56}{25}{r}^2=0\to$

$\to x^2-2·\frac{49}{35}\mathrm{rx}+\frac{392}{225}{r}^2=0\to x=\frac{49}{35}r\pm \sqrt{\frac{2401}{1225}-\frac{392}{225}}r=(\frac{49}{35}\pm \sqrt{\frac{21609-19208}{11025}})r=(\frac{49}{35}\pm \sqrt{\frac{2401}{11025}})r=(\frac{49}{35}\pm \frac{49}{105})r$

L'ascissa del punto M è : $x_M=(\frac{49}{35}-\frac{49}{105})r=49·\frac{3-1}{105}·r=49·\frac{2}{105}·r=\frac{14}{15}·r$

Il volume del solido di rotazione richiesto è dato dalla formula:

$V_{\mathrm{sr}}=\pi ·{\int }_0^{\frac{14}{15}r}[{(-\frac{\sqrt{14}}{7}x+\frac{2}{5}\sqrt{14}r)}^2-2rx+x^2]dx=\pi ·{\int }_0^{\frac{14}{15}r}[\frac{2}{7}{x}^2+\frac{56}{25}{r}^2-\frac{56}{35}rx-2rx+x^2]dx=\pi ·{\int }_0^{\frac{14}{15}r}(\frac{9}{7}{x}^2-\frac{126}{35}\mathrm{rx}+\frac{56}{25}{r}^2)dx=$

$={\pi (\frac{9}{7}·\frac{x^3}{3}-\frac{126}{35}r·\frac{x^2}{2}+\frac{56}{25}{r}^{2}x)}_0^{\frac{14}{15}r}=\frac{9}{21}·\frac{2744}{3375}{\mathrm{\pi r}}^3-\frac{126}{70}·\frac{196}{225}{\mathrm{\pi r}}^3+\frac{56}{25}·\frac{14}{15}{\mathrm{\pi r}}^3=\frac{49392-222264+296352}{141750}{\mathrm{\pi r}}^3=\frac{123480}{141750}{r}^3=\frac{196}{225}\pi r^3$

Volume della sfera generata dalla rotazione del cerchio dato: $V_{\mathrm{sf}}=\frac{4}{3}\pi r^3$

Rapporto: $\frac{V_{\mathrm{sr}}}{V_{\mathrm{sf}}}=\frac{196}{225}·\frac{3}{4}=\frac{49}{75}$