Calcolare l'integrale 0 1 ln ( 1 + x 2 ) dx

Proviamo a calcolare l'integrale indefinito per parti. La formula è: u · dv = u · v v · du u · v ' · dx = u · v v · u ' · dx

Posto: v'=1 e u = ln ( 1 + x 2 ) si ricava: v=x e u ' = 2 x 1 + x 2 . Sostituendo nella formula:

ln ( 1 + x 2 ) dx = x · ln ( 1 + x 2 ) 2 x 2 1 + x 2 dx = x · ln ( 1 + x 2 ) 2 1 1 + x 2 1 + x 2 dx = x · ln ( 1 + x 2 ) 2 dx + 2 dx 1 + x 2 =

= x · ln ( 1 + x 2 ) 2 x + 2 · arctan ( x ) + c

Adesso calcoliamo l'integrale definito:

0 1 ln ( 1 + x 2 ) dx = [ x · ln ( 1 + x 2 ) 2 x + 2 · arctan ( x ) ] 0 1 = ln ( 2 ) 2 + 2 · π 4 = ln ( 2 ) 2 + π 2