Calcolare l'integrale ∫ 0 1 ln ( 1 + x 2 ) dx
Proviamo a calcolare l'integrale indefinito per parti. La formula è: ∫ u · dv = u · v − ∫ v · du ⇒ ∫ u · v ' · dx = u · v − ∫ v · u ' · dx
Posto: v'=1 e u = ln ( 1 + x 2 ) si ricava: v=x e u ' = 2 x 1 + x 2 . Sostituendo nella formula:
∫ ln ( 1 + x 2 ) dx = x · ln ( 1 + x 2 ) − ∫ 2 x 2 1 + x 2 dx = x · ln ( 1 + x 2 ) − 2 ∫ 1 − 1 + x 2 1 + x 2 dx = x · ln ( 1 + x 2 ) − 2 ∫ dx + 2 ∫ dx 1 + x 2 =
= x · ln ( 1 + x 2 ) − 2 x + 2 · arctan ( x ) + c
Adesso calcoliamo l'integrale definito:
∫ 0 1 ln ( 1 + x 2 ) dx = [ x · ln ( 1 + x 2 ) − 2 x + 2 · arctan ( x ) ] 0 1 = ln ( 2 ) − 2 + 2 · π 4 = ln ( 2 ) − 2 + π 2