Determinare se il seguente integrale generalizzato è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore : ${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x}·\left(4+9x\right)}\mathrm{dx}$

La funzione integranda non è limitata in x=0.

Inoltre, ∀x∈ℝ⁺\{0}, $\frac{1}{\sqrt{x}\left(4+9x\right)}\le \frac{1}{\sqrt{x}}$.

È noto che ${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{dx}$ è convergente. Allora, per il criterio del confronto degli integrali generalizzati, anche l'integrale dato è convergente.

Calcolo dell'integrale.

Proviamo a calcolare l'integrale con il metodo di sostituzione della variabile. Posto $t=\sqrt{x}$ si ricava $\mathrm{dt}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{dx}\to \mathrm{dx}=2\sqrt{x}\mathrm{dt}$

Da cui:

${\int }_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x}\left(4+9x\right)}\mathrm{dx}={\int }_{}^{}\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(4+9t^2\right)}\mathrm{dt}=2{\int }_{}^{}\frac{1}{4+9t^2}\mathrm{dt}=\frac{2}{9}{\int }_{}^{}\frac{1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+t^2}\mathrm{dt}=\frac{2}{9}·\frac{3}{2}·\arctan \left(\frac{3t}{2}\right)+c=\frac{1}{3}·\arctan \left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)+c$

E l'integrale definito dato:

${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x}\left(4+9x\right)}\mathrm{dx}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{3}·\arctan \left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)-0=\frac{\pi }{6}$