Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione y = 2 x 2 + 1 x e passanti per il punto P(-1,1).


Il coefficiente angolare delle rette tangenti è dato dalla derivata prima della funzione y:

m ( x ) = y ' ( x ) = 4 x · x ( 2 x 2 + 1 ) x 2 = 4 x 2 2 x 2 1 x 2 = 2 x 2 1 x 2

Poichè le rette passano per il punto P devono avere equazioni:

y 1 = m ( x ) · ( x + 1 ) y 1 = 2 x 2 1 x 2 · ( x + 1 )

Inoltre il punto di tangenza deve appartenere alla funzione data.

Per questo motivo occorre risolvere il sistema: { y = 1 + 2 x 2 1 x 2 · ( x + 1 ) y = 2 x 2 + 1 x

Da cui:

1 + 2 x 2 1 x 2 · ( x + 1 ) = 2 x 2 + 1 x x 2 + ( 2 x 2 1 ) · ( x + 1 ) = x · ( 2 x 2 + 1 )

x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 x 1 = 2 x 3 + x 3 x 2 2 x 1 = 0

x = 1 ± 2 3

Per x = 1 2 3 = 1 3 : m ( 1 3 ) = 2 · 1 9 1 1 9 = 7

L'equazione della prima retta è: y = 1 7 · ( x + 1 ) = 7 x 6

Per x = 1 + 2 3 = 1 m ( 1 ) = 2 · 1 1 1 = 1

L'equazione della seconda retta è: y = 1 + 1 · ( x + 1 ) = x + 2

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