I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE


  1. Considera la funzione : f ( x ) = { p ln ( x + 1 ) per x∈[0,2] q x + 3 per x∈(2,3]

    Determinare i valori dei parametri reali p e q in modo che essa soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [0,3]. Determinare poi i punti c∈( 0,3 ) la cui esistenza garantita dal teorema di Lagrange.

    R: p = 9 3 ln 3 2 , q = p 3 , c = 8 3 ln 3 1 + 3 ln 3

  2. Considera la funzione: f ( x ) = { αx + 2 β x 1 per x∈[-2,-1] x 2 + 2 γx per x∈(-1,1]

    determinare i valori dei parametri reali α, β, e γ in modo che la funzione soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [-2,1]. Per tali valori dei parametri determinare i punti c∈( -2,1 ) la cui esistenza garantita dal teorema di Rolle.

    R: α = 7 2 , β = 5 4 , γ = 1 4 ; c = 1 4

  3. Date le funzioni f ( x ) = x 2 2 x + 1 e g ( x ) = x 2 , determina un h∈ℝe un c∈(-1,h) in modo che sia f ' ( c ) = 2 g ' ( c )

    R: h = 5 3 , c = 1 3

  4. Dimostra che se f e g sono due polinomi di secondo grado e se g'⁡(x) ≠ 0 in un intervallo [a,b] ̧allora vi un solo punto c che soddisfa il teorema di Cauchy ed c = a + b 2 .

    R:

  5. Delle funzioni f ( x ) = 2 x 3 3 x 2 e g ( x ) = x 2 3 1 una non verifica nell'intervallo [-1,2] tutte le ipotesi del Teorema di Lagrange. Si dica per quale delle due ci avviene e si giustifichi l'affermazione. Si determinino, per l'altra funzione, i valori della variabile indipendente la cui esistenza garantita dal teorema stesso. (199. Ordinaria. Prob. 4)

    R: x 1 = 1 3 2 , x 2 = 1 + 3 2

  6. Considera la funzione f ( x ) = x 2 4 x + 3
    1. Stabilisci se applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo [-1,1] e nell'intervallo [1,3];
    2. Stabilisci se applicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo [-1,1] e nell'intervallo [2,4].

    In caso affermativo, determina i punti di cui i teoremi garantiscono l'esistenza.

    R

  7. Supponiamo che f(x) sia una funzione derivabile in ℝ, tale che f(0)= 3 e f'(x)<2 ∀x∈ℝ. Applicando il teorema di Lagrange nell'intervallo [0,4], dimostra che f(4)≤11.

    R:

  8. Dimostra, utilizzando il teorema di Rolle, che l'equazione x 3 3 x + 4 = 0 non pu avere pi di una soluzione nell'intervallo [-3,-2].

    R

  9. Considera la funzione f ( x ) = x 2 2 x . Determina per quale valore a il teorema di Rolle applicabile nell'intervallo [-1,a], con a > -1. In riferimento a questo intervallo, determina il punto di cui il teorema garantisce l'esistenza.

    R:

  10. Considera la funzione f ( x ) = { 2 x 3 + 4 x 2 x < 1 a x 2 + b x 1 . Determina per quali valori a e b il teorema di Lagrange applicabile alla funzione nell'intervallo [0,2]. In corrispondenza dei valori a e b trovati, determina i punti di cui il teorema garantisce l'esistenza.

    R

  11. Considera la funzione f ( x ) = { e x + 2 x > 0 x 3 + ax + b x 0 . Determina per quali valori a e b il teorema di Lagrange applicabile alla funzione nell'intervallo [-1,1] . In corrispondenza dei valori a e b trovati, determina i punti di cui il teorema garantisce l'esistenza.

    R:

  12. Considera la funzione f ( x ) = x 3 3 x + 2 . Stabilisci se esiste un intervallo del tipo [-a,a], con a > 0, in cui applicabile il teorema di Rolle. In caso affermativo, determina l'intervallo e i punti di cui il teorema garantisce l'esistenza.

    R

  13. Considera la funzione f ( x ) = { 2 x 2 + x + 1 x 0 2 x x > 0 stabilisci se negli intervalli [-1,1] e [0,1] applicabile il teorema di Lagrange e, in caso affermativo, determina i punti di cui il teorema garantisce l'esistenza.

    R:

  14. Determina i valori dei parametri a,b e c in modo che sia applicabile il teorema di Rolle alla funzione

    f ( x ) = { x 2 + ax + b x < 0 c x 2 + 1 x 0

    nell'intervallo [-1,2]

    R

  15. Determinare per quale valore del parametro a, se esiste, la funzione:

    f ( x ) = { 3 x 2 + ( a 1 ) x + 3 a 2 x 0 1 + ln ( 1 + x 2 ) x > 0

    derivabile in x=0.

    R:

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