2 ⋅ p 3 +3=p ⋅ ln⁡(3) → 2 3 p-p ⋅ ln⁡(3)=-3 → p ⋅ 2-3ln⁡(3) 3 =3 → p= 9 3ln⁡(3)-2 e di conseguenza q= p 3 = 3 3ln⁡(3)-2 La funzione allora, per soddisfare le ipotesi del teorema di Lagrange, deve essere: f(x)= { 9 3ln⁡(3)-2 ⋅ ln( x+1 ) per x ∈ [ 0;2 ] 3 3ln⁡(3)-2 ⋅ x+3 per x ∈ (2;3] Soddisfatte le condizioni del teorema di Lagrange si può applicarlo: f⁡(b)=f⁡(3)= 9 3ln⁡(3)-2 +3 e f⁡(a)=f⁡(0)= 9 3ln⁡(3)-2 ⋅ ln⁡(1)=0 f⁡(b)-f⁡(a) b-a = 9 3ln⁡(3)-2 +3-0 3-0 = 3 3ln⁡(3)-2 +1 e f'(x)= { 9 3ln⁡(3)-2 ⋅ 1 x+1 per x ∈ [ 0;2 ] 3 3ln⁡(3)-2 per x ∈ (2;3] L'unica uguaglianza che si può imporre è 3 3ln⁡(3)-2 +1= 9 3ln⁡(3)-2 ⋅ 1 c+1 → 3+3ln⁡(3)-2 3ln⁡(3)-2 = 9 3ln⁡(3)-2 ⋅ 1 c+1 → → 1-3ln⁡(3) 9 = 1 c+1 → c+1= 9 1-3ln⁡(3) → c= 9 1-3ln⁡(3) -1= 9-1+3ln⁡(3) 1-3ln⁡(3) = 8+3ln⁡(3) 1-3ln⁡(3)