$f\left(x\right)=$$\{\begin{array}{c}2x^3+4x^2 x<1\\ a{x}^2+b x\ge 1\end{array}$

Determina per quali valori a e b il teorema di Lagrange è applicabile alla funzione nell'intervallo [0,2].

In corrispondenza dei valori a e b trovati, determina i punti di cui il teorema garantisce l'esistenza.

Continuità: $f^{-}\left(1\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}({2x}^3+4x^2)=6$ e $f^{+}\left(1\right)=a+b$. Posto $f^{-}\left(1\right)=f^{+}\left(1\right)$ si ricava a+b=6

Derivabilità.

$f\text{'}\left(x\right)=$$\{\begin{array}{c}6x^2+8x x<1\\ 2\mathrm{ax} x\ge 1\end{array}$ . $f^{\text{'}-}\left(1\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(6x^2+8x\right)=14$ e $f^{\text{'}+}\left(1\right)=2a$.

Posto $f^{\text{'}-}\left(1\right)=f^{\text{'}+}\left(1\right)$ si ricava a=7, da cui anche b= 6 - a = 6 - 7=-1

Ora che sono conosciuti i parametri a e b che rendono applicabile il teorema si ricava la derivata nel punto c:

$f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(2\right)-f\left(0\right)}{2-0}=\frac{7·4-1-0}{2}=\frac{27}{2}$

E il punto c:

$f\text{'}\left(c\right)=$$\{\begin{array}{c}6c^2+8c=\frac{27}{2} x<1\\ 14c=\frac{27}{2} x\ge 1\end{array}$

Per x<1 : $12c^2+16c-27=0\to c=\frac{-8\pm \sqrt{64+324}}{12}=\frac{-8\pm \sqrt{388}}{12}=\frac{-8\pm 2\sqrt{97}}{12}=\frac{-4\pm \sqrt{97}}{6}$

Per x≥1: $c=\frac{27}{28}<1$ quindi non accettabile