$f\left(x\right)=$$\{\begin{array}{c}{x}^2+\mathrm{ax}+b x<0\\ c{x}^2+1 x\ge 0\end{array}$

nell'intervallo [-1,2]

Continuità: $f^{-}\left(0\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}(x^2+\mathrm{ax}+b)=b$ e $f^{+}\left(0\right)=1$. Posto $f^{-}\left(0\right)=f^{+}\left(0\right)$ si ricava b=1

Derivabilità.

$f\left(x\right)=$$\{\begin{array}{c}2x+a x<0\\ 2cx x\ge 0\end{array}$ . $f^{\text{'}-}\left(0\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left(2x+a\right)=a$ e $f^{\text{'}+}\left(0\right)=0$. Posto $f^{\text{'}-}\left(0\right)=f^{\text{'}+}\left(0\right)$ si ricava a=0

Infine posto $f\left(-1\right)=f\left(2\right)$ si ricava: $1-a+b=4c+1$. Si è trovato che a=0 e b=1.

Da cui c: $1+1=4c+1\to c=\frac{1}{4}$