N.16 TEOREMI CALCOLO DIFFERENZIALE

Determinare per quale valore del parametro a, se esiste, la funzione:

$f (x) =$ ${\begin{matrix} 2 x^{2} + (a + 3 b - 2) x + (2 a - b - 1) x < 0 \\ 1 + \ln (1 - x + 3 x^{2}) x \geq 0 \end{matrix}$

è derivabile in x=0.

Continuità: $f^{-} (0) = lim_{x \to 0^{-}} ({2 x}^{2} + (a + 3 b - 2) x + (2 a - b - 1)) = 2 a - b - 1$ e $f^{+} (0) = 1 + \ln (1) = 1$ .

Posto $f^{-} (0) = f^{+} (0)$ si ricava $2 a - b - 1 = 1$

Derivabilità.

$f' (x) =$ ${\begin{matrix} 12 x^{2} + a + 3 b - 2 x < 0 \\ \frac{6 x - 1}{1 - x + 3 x^{2}} x≥0 \end{matrix}$ .

$f^{' -} (0) = lim_{x \to 0^{-}} (12 x^{2} + a + 3 b - 1) = a + 3 b - 1$ e $f^{' +} (0) = - 1$ .

Posto $f^{' -} (0) = f^{' +} (0)$ si ricava $a + 3 b - 1 = 1$

Si deve risolvere il sistema lineare: ${\begin{matrix} 2 a - b = 2 \\ a + 3 b = 2 \end{matrix} \to 6 a - 3 b + a + 3 b = 12 + 2 \to 7 a = 14 \to a = 2$

e $b = 2 a - 2 = 4 - 2 = 2$