Data la curva di equazione: f ( x ) = { x 2 + b x − 4 + c se x < 0 a x − 2 x + 3 se x ≥ 0 f( x )= left lbrace stack{x^2+b x - 4 + c `"se"` x <0 # {a x - 2} over {x+3}`"se"` x ge 0 } right none individua, senza risolvere l’equazione f'(x)= 0 i valori dei parametri a, b e c per cui nell’intervallo [-1; 2] è garantita l’esistenza di un punto in cui la retta tangente alla curva è orizzontale.


Dobbiamo imporre le ipotesi del teorema di Rolle.
La prima ipotesi è la continuità all'interno dell'intervallo [-1; 2]. Solo nel punto x=0 la funzione potrebbe non essere continui in base ai valori dei parametri.
Imponiamo la continuità in x=0: lim x → 0 - f ( x ) = f ( 0 ) → lim x → 0 - x 2 + b x − 4 + c = − 4 + c = a ⋅ 0 − 2 0 + 3 → c = 4 − 2 3 = 10 3 lim from{x toward 0^{"-"}} f( x )= f(0) toward lim from{x toward 0^{"-"}} x^2 + b x - 4 + c = -4 + c = {a cdot 0 - 2} over {0+3} toward c= 4 - 2 over 3 = 10 over 3
Imponendo la continuità abbiamo trovato il parametro c.
Ora imponiamo la derivabilità. Calcoliamo la derivata prima: f ' ( x ) = D f ( x ) = { D [ x 2 + b x − 4 + c ] = 2 x + b x < 0 D [ a x − 2 x + 3 ] = a ( x + 3 ) − ( a x − 2 ) ( x + 3 ) 2 = 3 a + 2 ( x + 3 ) 2 x ≥ 0 f'( x ) = D f( x )= left lbrace stack{D [x^2+b x - 4 + c]= 2x + b~~ x < 0 # D left[ {a x - 2} over {x+3}right] = {a (x+3)-(a x -2)}over {(x+3)^2} = {3 a +2}over {(x+3)^2}~~x ge 0 } right none
E imponiamo la continuità della derivata prima in x=0:
lim x → 0 - f ' ( x ) = f ' ( 0 ) → lim x → 0 - 2 x + b = b = 3 a + 2 ( 0 + 3 ) 2 → b = 3 a + 2 9 lim from{x toward 0^{"-"}} f'( x )= f'(0) toward lim from{x toward 0^{"-"}} 2x + b =b = {3 a +2}over {(0+3)^2} toward b = {3 a +2}over {9}
La terza condizione è f(-1)=f(2): { f ( − 1 ) = ( − 1 ) 2 + b ( − 1 ) − 4 + 10 3 = 1 − b − 2 3 = 1 3 − b f ( 2 ) = a ( 2 ) − 2 2 + 3 = 2 a − 2 5 → 1 3 − b = 2 a − 2 5 left lbrace stack{f(-1 )= ( -1 )^2+ b( -1 ) - 4 + 10 over 3 = 1 -b - { 2 over 3 }= 1 over 3 - b # f( 2)= {a (2) - 2} over {2+3}= { 2 a -2 } over 5 } right none ~ toward~ 1 over 3 - b ={ 2 a -2 }over 5
Sostituiamo b e ricaviamo a: 1 3 − 3 a + 2 9 = 2 a − 2 5 → 2 a − 2 5 + 3 a + 2 9 = 1 3 → 18 a − 18 + 15 a + 10 45 = 1 3 → 33 a − 8 = 15 → 33 a = 23 → a = 23 33 1 over 3 - {3 a +2}over {9} ={ 2 a -2 } over 5 toward { 2 a -2 } over 5+{3 a +2}over {9} = 1 over 3 toward {18a-18 +15a+10 } over { 45 }= 1 over 3 toward 33a -8=15 toward 33 a = 23 toward a = 23 over 33
E per concludere, noto a, ricaviamo b: b = 3 a + 2 9 = 3 ⋅ 23 33 + 2 9 = 23 + 22 99 = 45 99 = 5 11 b= {3 a +2}over {9} = {3 cdot 23 over 33 +2}over {9} = { 23 + 22 } over 99 = 45 over 99 = 5 over 11