Date le due curve di equazione $f(x)=e^{x^2-4x+4}$ e $g(x)=\cos (x-2)$ dimostra che esiste almeno un valore c interno all’intervallo [0; 4] per il quale le rette tangenti alle curve, rispettivamente nei punti (c; f (c)) e (c; g (c)), sono parallele

Le due funzioni soddisfano le condizioni del teorema di Rolle all'interno dell'intervallo [0;4]. Infatti: $$\begin{array}{c}f(0)=e^{0^2-4\cdot 0+4}=e^4;f(4)=e^{{(4-2)}^2}=e^4\\ \\ g(0)=\cos (0-2)=\cos (-2)=\cos (2);g(4)=\cos (4-2)=\cos (2)\end{array}$$
Quindi esistono per le funzioni f(x) e g(x) due punti c e c' in cui le tangenti alle curve sono parallele. Occorre ora dimostrare che il punto è lo stesso sia per f(x) che per g(x).
Calcoliamo la derivata prima delle due funzioni, imponiamo che sia zero e verifichiamo in quale punto ciò accade.
$$\begin{array}{c}f\text{'}(x)=e^{x^2-4\cdot x+4}(2x-4)=2(x-2)e^{{(x-2)}^2}\\ \\ g\text{'}(x)=-\sin (x-2)\end{array}$$
Si vede facilmente che ambedue le derivate si annullano in x=2 che è all'interno dell'intervallo [0;4].