Data la funzione f ( x ) = { k e x − 1 se x < 1 k ( x 2 − x ) + k se x ≥ 1 f( x )= left lbrace stack{k e^{x-1} ~"se"~ x<1# k(x^2-x)+k ~"se"~ x ge 1} right none

  1. dimostra che f(x) è continua e derivabile in R;
  2. trova il valore di k in modo che la tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa 1 abbia coefficiente angolare uguale a -1 e rappresenta graficamente f(x);
  3. applica il teorema di Lagrange agli intervalli [1;4] e [0;2] nelle ipotesi del punto b


L'unico punto di discontinuità possibile è in x= 1.
Per verificare la continuità occorre che: lim x → 1 - f ( x ) = f ( 1 ) → { lim x → 1 - f ( x ) = lim x → 1 - ( k e x − 1 ) = k f ( 1 ) = k ( 1 2 − 1 ) + k = k lim from{x toward 1^"-"} f( x ) = f( 1 ) toward left lbrace stack{lim from{x toward 1^"-"} f( x )= lim from{x toward 1^"-"} left( k e^{x-1} right)= k # f( 1 )= k( 1^2 - 1 ) + k = k} right none
La funzione è continua in R. Adesso calcoliamo la derivata: f ' ( x ) = { D [ k e x − 1 ] = k e x − 1 D [ k ( x 2 − x ) + k ] = k ( 2 x − 1 ) f'( x ) =left lbrace stack{D left[ k e^{x-1} right]= k e^{x-1} # D left[ k( x^2 - x ) + k right] = k( 2 x - 1 )} right none
Verifichiamo la derivabilità in x=1: lim x → 1 - f ' ( x ) = f ' ( 1 ) → { lim x → 1 - f ' ( x ) = lim x → 1 - ( k e x − 1 ) = k f ' ( 1 ) = k ( 2 ⋅ 1 − 1 ) = k lim from{x toward 1^"-"} f'( x ) = f'( 1 ) toward left lbrace stack{lim from{x toward 1^"-"} f'( x )= lim from{x toward 1^"-"} left( k e^{x-1} right)= k # f'( 1 )= k( 2 cdot1 - 1 ) = k} right none La funzione è derivabile in R.
Troviamo k con la condizione che in x= 1 la derivata della funzione deve essere uguale a -1: f ' ( 1 ) = k ( 2 ⋅ 1 − 1 ) = k = − 1 → k = − 1 f'( 1 )= k( 2 cdot1 - 1 ) = k=-1 toward k = -1
La funzione è: f ( x ) = { − e x − 1 se x < 1 − x 2 + x − 1 se x ≥ 1 f( x )= left lbrace stack{-e^{x-1} ~"se"~ x<1# -x^2+x-1 ~"se"~ x ge 1} right none

Il grafico della funzione con carta e penna e prodotto da Geogebra:

Applichiamo il teorema di lagrange nell'intervallo [1;4]:
{ f ' ( c ) = f ( 4 ) − f ( 1 ) 4 − 1 = ( − 16 + 4 − 1 ) − ( − 1 ) 3 = − 4 f ' ( c ) = − 2 c + 1 → − 2 c + 1 = − 4 → 2 c = 5 → c = 5 2 left lbrace stack{f'( c ) = { f(4) - f(1) } over { 4-1 }= { (-16+4-1) - (-1) } over { 3 }= -4 # f'( c )= -2c+1} right none toward -2c+1=-4 toward 2c=5 toward c= 5 over 2
e all'intervallo [0;2]: { f ' ( c ) = f ( 2 ) − f ( 0 ) 2 − 0 = ( − 4 + 2 − 1 ) − ( − e − 1 ) 2 = − 3 2 + 1 2 e f ' ( c ) = − 2 c + 1 ∨ f ' ( c ) = − e c − 1 → { − 3 2 + 1 2 e = − 2 c + 1 → c = 5 4 − 1 4 e − 3 2 + 1 2 e = − e c − 1 → c = 1 + ln ( 3 2 − 1 2 e ) left lbrace stack{f'( c ) = { f(2) - f(0) } over { 2-0 }= { (-4+2-1) - (-e^-1) } over { 2 }= -{3 over 2} + {1 over {2 e}} # f'( c )= -2c+1 or f'(c)= -e^{c-1} } right none toward left lbrace stack{-{3 over 2} + {1 over {2 e}}= -2c+1 toward c = 5 over 4 - {1 over {5 e }}# -{3 over 2} + {1 over {2 e}}= -e^{c-1} toward c = 1 + ln left ({3 over 2 - {}1 over {2 e}}right) } right none



La seconda soluzione è da scartare perche è uguale a circa 1.27, maggiore di 1, quindi fuori del campo di esistenza della parte esponenziale della funzione.