Considera la funzione f ( x ) = x 2 4 x + 3
  1. Stabilisci se è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo [-1,1] e nell'intervallo [1,3];
  2. Stabilisci se è applicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo [-1,1] e nell'intervallo [2,4].

In caso affermativo, determina i punti di cui i teoremi garantiscono l'esistenza.



La funzione è f ( x ) = { x 2 4 x + 3            x 2 4 x + 3 0 x 2 + 4 x 3            x 2 4 x + 3 < 0

Posto x 2 4 x + 3 = 0 si ricava: x = 2 ± 4 3 = 2 ± 1 = { x = 1 x = 3

Da cui gli intervalli di definizione della funzione: f ( x ) = { x 2 4 x + 3           x 1 x 3 x 2 + 4 x 3           1 < x < 3

Si osserva subito che la funzione è continua in tutto il suo dominio di definizione.

Derivata prima: f ' ( x ) = { 2 x 4           x 1 x 3 2 x + 4           1 < x < 3

In x=1: f ' ( 1 ) = 2 4 = 2 e f ' + ( 1 ) = lim x 1 + 2 x + 4 = 2

La derivata non è continua in x=1.

In x=1: f ' + ( 3 ) = 6 4 = 2 e f ' ( 3 ) = lim x 3 2 x + 4 = 2

La derivata non è continua in x=3.

Quindi, poichè 2<3<4, nell'intervallo [2,4] il teorema di Lagrange non è applicabile.

Nell'intervallo [-1,1] deve essere valida la condizione f(-1)=f(1) perchè il teorema di Rolle sia applicabile.

Ma f(-1)= 8 e f(1)=0. In questo intervallo il teorema di Rolle non è applicabile.

Nell'intervallo [1,3] deve essere valida la condizione f(1)=f(3) perchè il teorema di Rolle sia applicabile.

f(1)= 0 e f(3)=0. In questo intervallo il teorema di Rolle è applicabile.

In questo caso f ' ( c ) = 0 2 · c + 4 = 0 c = 2

Nell'intervallo [-1,1] il teorema di Lagrange è applicabile (funzione derivabile all'interno dell'intervallo):

f ' ( c ) = f ( 1 ) f ( 1 ) 1 ( 1 ) = 0 8 2 = 4

Da cui 4 = 2 c 4 2 c = 0 c = 0