In caso affermativo, determina i punti di cui i teoremi garantiscono l'esistenza.
La funzione è
Posto si ricava:
Da cui gli intervalli di definizione della funzione:
Si osserva subito che la funzione è continua in tutto il suo dominio di definizione.
Derivata prima:
In x=1: e
La derivata non è continua in x=1.
In x=1: e
La derivata non è continua in x=3.
Quindi, poichè 2<3<4, nell'intervallo [2,4] il teorema di Lagrange non è applicabile.
Nell'intervallo [-1,1] deve essere valida la condizione f(-1)=f(1) perchè il teorema di Rolle sia applicabile.
Ma f(-1)= 8 e f(1)=0. In questo intervallo il teorema di Rolle non è applicabile.
Nell'intervallo [1,3] deve essere valida la condizione f(1)=f(3) perchè il teorema di Rolle sia applicabile.
f(1)= 0 e f(3)=0. In questo intervallo il teorema di Rolle è applicabile.
In questo caso
Nell'intervallo [-1,1] il teorema di Lagrange è applicabile (funzione derivabile all'interno dell'intervallo):
Da cui