$f\left(x\right)=$ $\frac{{\ln }^{2}x}{\ln x-1}$

è crescente o decrescente e gli eventuali punti di massimo, di minimo relativo o di flesso a tangente orizzontale.

La funzione è definita ∀x∈]0,e[ ∪]e,+∞[

Calcolo della derivata prima:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{{\left({\ln }^{2}x\right)}^{\text{'}}·\left(\ln x-1\right)-\left({\ln }^{2}x\right)·{\left(\ln x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(\ln x-1\right)}^2}=\frac{\frac{2·\ln x}{x}·\left(\ln x-1\right)-{\ln }^{2}x·\frac{1}{x}}{{\left(\ln x-1\right)}^2}=\frac{2·\ln x-2-\ln x}{x·{\left(\ln x-1\right)}^2}·\ln x=\frac{\ln x-2}{x·{\left(\ln x-1\right)}^2}·\ln x$

Anche la derivata prima è definita ∀x∈]0,e[ ∪]e,+∞[

Segno della derivata prima: $f\text{'}\left(x\right)\ge 0\to \{\begin{array}{c}\ln x-2\ge 0\\ \ln x\ge 0\end{array}\to \{\begin{array}{c}x\ge e^2\\ x\ge 1\end{array}$

Il denominatore, nel campo di definizione della funzione, non ha alcun effetto sul segno.

Dal confronto dei segni si ricava che la derivata prima è positiva per x∈]0,1] e per x∈[e², +∞[ e negativa per x∈[1,e[ ∪ ]e,e²]

Si evinced che il punto corripondente ad x= 1 è un massimo relativo, mentre il punto corrispondente a x=e² è un minimo relativo