- Studia il fascio di coniche di equazione
con a ∊ R e determina le coniche
γ1 e γ2 passanti per i punti
A(1; 2/3) e B(-1; 2).
- Trova l'equazione della generica retta r passante per
il punto base del fascio e l'equazione del luogo t del
punto medio del segmento CD, con C e D punti di intersezione di
r con le coniche trovate.
- Determina l'area della regione finita di piano limitata dalle
due coniche trovate e dalla curva simmetrica di t
rispetto l'asse y.
(Esame di Stato, Liceo scientifico, Scuole
italiane all’estero (Americhe, Emisfero boreale), Sessione
ordinaria, 2005, problema 1)
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- Scrivi le primitive della funzione
. Tra le primitive trovate rappresenta graficamente quella
passante per limitandoti allo studio della derivata prima. Calcola
l'area della regione finita di piano compresa tra le rette di
equazioni x=1, x=2, l'asse delle ascisse e il grafico della
funzione f(x).
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di
ordinamento, Sessione suppletiva, 2000, quesito 1)
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- Data la parabola di equazione y= 3x²
- 2x e la retta y=k, con k≥ -1/3, determina l'area del
triangolo individuato dai punti di intersezione della parabola con
la retta e dal vertice. Studia l'andamento dell'area al variare di
k. Determina l'area della regione finita di piano compresa tra la
parabola e l'asse x e il valore di k per il quale il rapporto tra
l'area trovata e quella del triangolo è uguale a √2/3.
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- Studia il fascio di parabole di
equazione y= (3k-2)·x²- 3kx, con k ∊ R determinando i
punti base e la parabola degenere. Trova le parabole del fascio che
formano con la retta del fascio un segmento parabolico di area 1.
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- Determina il punto per il quale
passano tutte le curve del fascio di equazione
, a ∊ R - {0} e l'equazione della retta r
passante per tale punto e perpendicolare alla retta di equazione y=
-x/3 +1. Trova le equazioni delle curve del fascio che staccano
sulla retta r un segmento di lunghezza √10/3. Calcola l'area
della regione finita di piano compresa tra le curve trovate e la
retta di equazione x= 1/3.
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- Considera la funzione f(x)= ex-2 - x.
- Studia f(x) e traccia in un piano
riferito a un sistema di assi cartesiano ortogonali Oxy la
curva γ di equazione y= f(x)
- Stabilisci se la funzione data
soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [2;
3] e, in caso affermativo, determina l'ascissa del punto che
verifica il suddetto teorema.
- Calcola l'area della regione
finita di piano delimitata da γ e dalle rette di
equazione x=1 e x=3
- Trova l'equazione della curva
γ' che si ottiene applicando la trasformazione di
equazioni: e determina il volume del solido generato dalla
rotazione completa attorno alla retta di equazione Y= 1/e²
della parte di γ' appartenente alla striscia di piano di
equazione -2 ≤ X ≤ 0.
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- È dato un triangolo rettangolo ABC di
cateti AC= 2 e CB= 1. Sull'ipotenusa AB prendi un
punto P e indica con Q la sua proiezione su CB.
- Posto PQ= x esprimi la funzione f(x)=
V1(x)/V2(x), dove con V1(x) si
indica il volume del solido ottenuto ruotando il trapezio APQC
intorno al cateto CA e con V2(x) il volume del
solido ottenuto ruotando APQC attorno CB.
- Studia la funzione ottenuta indipendentemente dalla questione
geometrica, limitandoti alla derivata prima.
- Il numero di flessi e la loro collocazione nel grafico sono
legati alla soluzione dell'equazione x³ + 6x² - 8 =0. Determina
in modo approssimato, con uno dei metodi studiati, il flesso di
ascissa positiva.
- Calcola l'area S della parte di piano racchiusa tra la curva,
l'asse y e il semiasse positivo delle ascisse.
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- In un piano, riferito a un sistema di
assi cartesiano ortogonali Oxy, considera le curve di equazione: y=
x³ + ax² + bx + c dove a , b, c sono parametri reali. Determina tra
queste le due curve k1 e k2 che passano per
l'origine e per il punto A(2; 0) e sono tangenti all'asse delle
ascisse rispettivamente in O e in A.
- Disegna l'andamento di k1 e k2
- Considera la regione piana R delimitata dagli archi di
k1 e k2 aventi gli estremi in O e in A e
calcolane l'area S1
- Trova tra le corde appartenenti alla regione R, parallele
all'asse delle ordinate, quella di lunghezza massima.
- Verifica che le equazioni delle due curve i k1 e
k2 si trasformano una nell'altra con la
sostituzione:
ed esprimi questa proprietà in termini geometrici.
- Considera il quadrilatero inscritto nella regione R i cui
vertici sono ottenuti dall'intersezione tra k1 e la
retta di equazione y = -1/2, k2 e la retta di
equazione y= 1/2. Con uno dei metodi di soluzione approssimata
di equazioni, determina l'area S2 del quadrilatero
verificando anche che si tratta di un parallelogramma.
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- Data la funzione f(x)= x² - ln(x) - 15.
- determina due intervalli in cui esistono le due radici della
funzione
- determina con il metodo delle tangenti o delle secanti la
radice di maggiore valore
- studia la funzione e tracciane un grafico
- calcola l'area di piano compresa fra la curva f(x) e la curva
g(x)= f(x)/x
- calcola la radice di minor valore di f(x) col metodo di
bisezione
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- Data la funzione f(x)= e2x - 2x - 15.
- determina due intervalli in cui esistono le due radici della
funzione
- determina con il metodo delle tangenti o delle secanti la
radice di minor valore e con il metodo di bisezione la radice
di maggior valore
- studia la funzione e tracciane un grafico
- calcola il volume del solido di rotazione generato dalla
rotazione attorno l'asse delle ascisse della funzione f(x).
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