PROBLEMI CON LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE


    1. Studia il fascio di coniche di equazione y = 2 a x x + 2 con a ∊ R e determina le coniche γ1 e γ2 passanti per i punti A(1; 2/3) e B(-1; 2).
    2. Trova l'equazione della generica retta r passante per il punto base del fascio e l'equazione del luogo t del punto medio del segmento CD, con C e D punti di intersezione di r con le coniche trovate.
    3. Determina l'area della regione finita di piano limitata dalle due coniche trovate e dalla curva simmetrica di t rispetto l'asse y.

    R

  1. Scrivi le primitive della funzione f ( x ) = 3 x 2 2 x 2 x 2 + x 3 l n ( 2 x 2 + x 3 ) . Tra le primitive trovate rappresenta graficamente quella passante per A ( 2 ; 1 2 l n 2 6 ) limitandoti allo studio della derivata prima. Calcola l'area della regione finita di piano compresa tra le rette di equazioni x=1, x=2, l'asse delle ascisse e il grafico della funzione f(x).

    R

  2. Data la parabola di equazione y= 3x - 2x e la retta y=k, con k≥ -1/3, determina l'area del triangolo individuato dai punti di intersezione della parabola con la retta e dal vertice. Studia l'andamento dell'area al variare di k. Determina l'area della regione finita di piano compresa tra la parabola e l'asse x e il valore di k per il quale il rapporto tra l'area trovata e quella del triangolo uguale a √2/3.

    R

  3. Studia il fascio di parabole di equazione y= (3k-2)x- 3kx, con k ∊ R determinando i punti base e la parabola degenere. Trova le parabole del fascio che formano con la retta del fascio un segmento parabolico di area 1.

    R

  4. Determina il punto per il quale passano tutte le curve del fascio di equazione y = 3 x a x + a , a ∊ R - {0} e l'equazione della retta r passante per tale punto e perpendicolare alla retta di equazione y= -x/3 +1. Trova le equazioni delle curve del fascio che staccano sulla retta r un segmento di lunghezza √10/3. Calcola l'area della regione finita di piano compresa tra le curve trovate e la retta di equazione x= 1/3.

    R

  5. Considera la funzione f(x)= ex-2 - x.
    1. Studia f(x) e traccia in un piano riferito a un sistema di assi cartesiano ortogonali Oxy la curva γ di equazione y= f(x)
    2. Stabilisci se la funzione data soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [2; 3] e, in caso affermativo, determina l'ascissa del punto che verifica il suddetto teorema.
    3. Calcola l'area della regione finita di piano delimitata da γ e dalle rette di equazione x=1 e x=3
    4. Trova l'equazione della curva γ' che si ottiene applicando la trasformazione di equazioni: { x = X + 2 y = Y e determina il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno alla retta di equazione Y= 1/e della parte di γ' appartenente alla striscia di piano di equazione -2 ≤ X ≤ 0.

      R

  6. dato un triangolo rettangolo ABC di cateti AC= 2 e CB= 1. Sull'ipotenusa AB prendi un punto P e indica con Q la sua proiezione su CB.
    1. Posto PQ= x esprimi la funzione f(x)= V1(x)/V2(x), dove con V1(x) si indica il volume del solido ottenuto ruotando il trapezio APQC intorno al cateto CA e con V2(x) il volume del solido ottenuto ruotando APQC attorno CB.
    2. Studia la funzione ottenuta indipendentemente dalla questione geometrica, limitandoti alla derivata prima.
    3. Il numero di flessi e la loro collocazione nel grafico sono legati alla soluzione dell'equazione x + 6x - 8 =0. Determina in modo approssimato, con uno dei metodi studiati, il flesso di ascissa positiva.
    4. Calcola l'area S della parte di piano racchiusa tra la curva, l'asse y e il semiasse positivo delle ascisse.

      R

  7. In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiano ortogonali Oxy, considera le curve di equazione: y= x + ax + bx + c dove a , b, c sono parametri reali. Determina tra queste le due curve k1 e k2 che passano per l'origine e per il punto A(2; 0) e sono tangenti all'asse delle ascisse rispettivamente in O e in A.
    1. Disegna l'andamento di k1 e k2
    2. Considera la regione piana R delimitata dagli archi di k1 e k2 aventi gli estremi in O e in A e calcolane l'area S1
    3. Trova tra le corde appartenenti alla regione R, parallele all'asse delle ordinate, quella di lunghezza massima.
    4. Verifica che le equazioni delle due curve i k1 e k2 si trasformano una nell'altra con la sostituzione: { x = 2 x ' y = y ' ed esprimi questa propriet in termini geometrici.
    5. Considera il quadrilatero inscritto nella regione R i cui vertici sono ottenuti dall'intersezione tra k1 e la retta di equazione y = -1/2, k2 e la retta di equazione y= 1/2. Con uno dei metodi di soluzione approssimata di equazioni, determina l'area S2 del quadrilatero verificando anche che si tratta di un parallelogramma.

      R

  8. Data la funzione f(x)= x - ln(x) - 15.
    • determina due intervalli in cui esistono le due radici della funzione
    • determina con il metodo delle tangenti o delle secanti la radice di maggiore valore
    • studia la funzione e tracciane un grafico
    • calcola l'area di piano compresa fra la curva f(x) e la curva g(x)= f(x)/x
    • calcola la radice di minor valore di f(x) col metodo di bisezione

    R

  9. Data la funzione f(x)= e2x - 2x - 15.
    • determina due intervalli in cui esistono le due radici della funzione
    • determina con il metodo delle tangenti o delle secanti la radice di minor valore e con il metodo di bisezione la radice di maggior valore
    • studia la funzione e tracciane un grafico
    • calcola il volume del solido di rotazione generato dalla rotazione attorno l'asse delle ascisse della funzione f(x).

    R

h n