Si tratta di un fascio di iperboli equilatere traslate.
L'equazione generica è: y= ax+b cx+d  con a≠0, c≠0 e ad - bc≠0. 
In generale gli asintoti  hanno equazioni: x= -d/c e y= a/c.
In questo caso gli asintoti hanno equazioni: x= -2/1= -2 e y= 2a/1= 2a.

Quindi l'asintoto orizzontale è fisso mentre quello verticale dipende da a

Le coniche passano da A e da B.

La conica γ1:   2 3 = 2a1 1+2 = 2 3 aa=1y= 2x x+2

La conica γ2:    2= 2a( -1 ) -1+2 =-2aa=-1y=- 2x x+2


Scelte γ1 e γ  generatrici del fascio di coniche, il punto base del fascio è (o sono) l'eventuale punto comune alle due generatrici. In questo caso è il punto O(0,0).

L'equazione della retta t deve essere y= mx.

L'intersezione di t con γ1 è data da:  
mx= 2x x+2 m x 2 +2mx-2x x+2 =0 m x 2 +2x( m-1 ) x+2 =0x mx+2( m-1 ) x+2 =0
La prima soluzione è x=0 e corrisponde al il punto base O(0,0).
La seconda soluzione è : x=-2 m-1 m y=mx=-2( m-1 )C( -2 m-1 m ;-2( m-1 ) )

L'intersezione di t con γ2 è data da:  
mx= - 2x x+2 m x 2 +2mx+2x x+2 =0 m x 2 +2x( m+1 ) x+2 =0x mx+2( m+1 ) x+2 =0
La prima soluzione è x=0 e corrisponde al il punto base O(0,0).
La seconda soluzione è : x=-2 m+1 m y=mx=-2( m+1 )D( -2 m+1 m ;-2( m+1 ) )

Il punto medio tra C e D è:  
  x E = x C + x D 2 = ( -2 m-1 m )+( -2 m+1 m ) 2 = -m+1-m-1 m =-2  e y E = y C + y D 2 = -2( m-1 )+( -2( m+1 ) ) 2 = -2m+2-2m-2 2 =-2m
 Tutti i punti medi, a variare di m, sono  E(-2; -2m); ne deriva che luogo dei punti t è la retta x= -2.  La curva simmetrica a t rispetto l'asse y è x= +2

L'area della regione finita di piano limitata dalle due coniche è data dall'integrale definito:

Area= 0 2 2x x+2 x +| 0 2 - 2x x+2 x |= 4∫ 0 2 x x+2 x =4 0 2 x+2-2 x+2 x =
=4 0 2 x -8 0 2 1 x+2 x =4 [x] 0 2 -8 [ ln( x+2 ) ] 0 2 =8-8( ln4-ln2 )=8( 1-ln2 )