Occorre trovare i tre vertici del triangolo. Il primo vertice, A, è il vertice della parabola: x A =- b 2a = 1 3  e y A =- 4a =- b 2 -4ac 4a =- 1 3 .
Per gli altri due vertici occorre imporre: k=3 x 2 -2x3 x 2 -2x-k=0 x BC = 1 ± 1+3k 3 .
Quindi gli altri due vertici sono: B( 1+ 1+3k 3 ,k )  C( 1- 1+3k 3 ,k ) .
L'area di un triangolo dati i tre vertici si può calcolare con la formula:
Area= 1 2 | ( x B - x A )( y C - y A )-( x C - x A )( y B - y A ) |= 1 2 | ( 1+ 1+3k 3 - 1 3 )( k+ 1 3 )-( 1- 1+3k 3 - 1 3 )( k+ 1 3 ) |= 3k+1 9 1+3k

L'area è una funzione di k. (cliccare sulla figura per avviare l'applet Geogebra)


Studio della funzione : f(x)= 3x+1 9 1+3x = ( 1+3x ) 3 9
  1. Campo di esistenza.  Deve essere 1+3x ≥ 0. Da cui x ≥ -1/3
  2. Radici e intercetta. In xD= -1/3 una radice e in yE=1/9 l'intercetta.
  3. Segno della funzione: sempre positiva.
  4. Asintoti. Nessun asintoto: lim x ( 1+3x ) 3 9 =+ ∞ 
  5. Crescenza. f'(x)= d dx ( 1+3x ) 3 9 = 1 9 3 2 (1+3x ) 3 2 -1 3= 1 2 ⋅ 1+3x . La derivata prima è, nel campo di esistenza della funzione, positiva per  x ≥ -1/3. La funzione è quindi sempre crescente. In x= -1/3 la derivata prima si annulla. Quindi il punto D(-1/3, 0) è un minimo assoluto e una radice della funzione.

Per determinare l'area della regione finita di piano compresa tra la parabola e l'asse x occorre trovare le radici della parabola. Si vede subito che sono xF= 0 e xG= 2/3.
Quindi l'area è: A p =| 0 2 3 y(x) x |=| 0 2 3 ( 3 x 2 -2x ) x |=| [ 3 x 3 3 -2 x 2 2 ] 0 2 3 |=| 8 27 - 4 9 |=| - 4 27 |= 4 27
Il rapporto A p A t = 4 27 ( 1+3k ) 3 9 = 2 3 2 ( 1+3k ) 3 =42 ( 1+3k ) 3 =16 ( 1+3k ) 3 =8( 1+3k )=23k=1k= 1 3