1. Studio della funzione: f(x)= ex-2 - x
    1. Dominio di definizione. La funzione è definita in tutto R (senza proprietà di simmetria)
  1. Intersezioni con gli assi.
    • Radici. La soluzione dell'equazione: ex-2 - x= 0 non può essere trovata in modo analitico ma numerico. Per poter individuare gli intervalli ove applicare i metodi numerici è meglio reperire quante più informazioni possibili.
    • Intercetta. f(0)= 1/e² . A(0, 1/e²) l'intercetta.
  1. Segno della funzione.   La disequazione ex-2 - x ≥ 0 conduce anche alla soluzione della disequazione logaritmica x-2 ≥ ln(x). Occorre anche in questo caso conoscere le eventuali radici.
  1. Asintoti
    • Verticali. La funzione è continua in tutto il suo dominio di definizione.
    • Orizzontali.
      • lim x+ ( e x-2 -x )= lim x+ ( e x-2 x -1 )x= lim x+ ( e x-2 x -1 ) lim x+ x=( lim x+ e x-2 x - lim x+ 1 ) lim x+ x=+ ∞ 
      • lim x- ( e x-2 -x )= +∞ 
L'esistenza di radici è assicurata dalla validità del teorema dell'esistenza degli zeri. Dallo studio degli asintoti orizzontali e dal valore dell'intercetta si potrebbe dedurre che la funzione è sempre positiva. Bisogna allora verificare se esiste  intervallo nel quale la funzione è negativa.
Se f(x) < 0 allora anche x-2 - ln(x) < 0. Perché ciò accada basta che x-2<0 e ln(x)>0. Si trova x<2 e x>1 che fornisce un intervallo [1,2]. In questo intervallo la funzione è negativa ed è possibile affermare che devono esistere due radici.
Un primo intervallo che verifica il teorema di esistenza degli zeri è I1=[0,1]. Un secondo intervallo è I2=[2,4] (non è possibile considerare estremo destro x=3 perché f(3)= e - 3 <0).
È necessario calcolare la derivata seconda della funzione per poter applicare il metodo delle tangenti o delle secanti.
f'(x)= ex-2- 1 e f"(x)=  ex-2.  La disequazione ex-2 >0 è sempre verificata. Quindi possono essere applicati i due metodi e poiché è nota la derivata prima è opportuno applicare il metodo delle tangenti.
  • Ricerca dello zero nell'intervallo [0;1]. f"(x)·f(1)< 0  .     c=a- f(a) f'(a) =a- e a-2 -a e a-2 -1 = a e a-2 -a- e a-2 +a e a-2 -1 =( a-1 e a-2 -1 ) e a-2
a
c
f(c)
|a-c|
0
0.1565176427 0.0017476862  
0.1565176427
0.1565176427 0.1585939338   0.000000341   
0.0020762911
0.1585939338     0.1585943396       
1.30451205393456E-014 4.05720950252819E-007
  • Ricerca dello zero nell'intervallo [2;4]. f"(x)·f(4)> 0.     c=b- f(b) f'(b) =( b-1 e b-2 -1 ) e b-2 
b
c
f(c)
|b-c|
4
3.4695529282
     0.8777382272   
0.5304470718
3.4695529282 3.2073294806    0.137211573  
0.2622234477
3.2073294806       3.1488056287       
    0.0056174777 0.0585238519
3.1488056287      3.1461982125       
0.0000107
0.0026074162

Quindi due radici B(0.1586; 0) e C(3.1462; 0)

    1. Punti stazionari.     f'(x)= e x-2 -1=0 e x-2 =1x-2=0x=2 . f(2)= -1. In D(2; -1) un punto stazionario. È evidente, da quanto detto, che il punto stazionario deve essere un minimo assoluto.
    1. Asintoti obliqui. 
      • lim x+ f'(x)= lim x+ ( e x-2 -1 )=  +
      • lim x- f'(x)= lim x- ( e x-2 -1 )=-1 .   Un asintoto obliquo.   
Intercetta:     q= lim x- e x-2 ( 1-x )= lim x- e x-2 - lim x- xe x-2 =- lim x- x e 2-x =- lim x- d dx (x) d dx ( e 2-x ) = lim x- 1 e 2-x =0
Asintoto obliquo è la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
    1. Curvature. La derivata seconda è sempre positiva. La concavità è rivolta verso l'alto in tutto il dominio di definizione.

  1. Nell'intervallo [2; 3] la funzione è continua e derivabile.
    •  f'(c)= f(3)-f(2) 3-2 = e 3-2 -3- e 2-2 +2=e-2 
    • f'(c)= e c-2 -1
    • e c-2 -1=e-2 e c-2 =e-1c-2=ln( e-1 )c=2+ln( e-1 )
  1. Area=| 1 3 ( e x-2 -x )dx |=| 1 3 e x-2 dx- 1 3 xdx |=| [ e x-2 - x 2 2 ] 1 3 |=| e 3-2 - 9 2 - e 1-2 + 1 2 |=| e- 1 e -4 |=4+ 1 e -e

  1. { x=X+2 y=Y γ :y= e x-2 -x γ ':Y= e X+2-2 -X-2= e X -X-2 .  La trasformazione geometrica è una traslazione di vettore V(-2; 0).
Per determinare il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno alla retta di equazione Y= 1/e² della parte di γ' appartenente alla striscia di piano di equazione -2 ≤  X ≤ 0 occorre effettuare un'altra traslazione. Infatti la formula  V= π a b f 2 (x) x per il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione è utilizzabile solo per rotazioni attorno l'asse delle ascisse. In questo caso è richiesta una rotazione attorno l'asse Y= 1/e². Occorre quindi traslare l'asse X in modo che l'asse delle ascisse coincida con l'asse Y= 1/e²:     { X'=X Y'=Y- 1 e 2 Y'=Y- 1 e 2 = e X' -X'-2- 1 e 2  
Con la funzione trovata si può calcolare il volume del solido di rotazione richiesto con la formula: V= π a b f 2 (x) x .
Volume= π -2 0 f 2 ( X' ) X '= π -2 0 ( e X' -X'-2- 1 e 2 ) 2 X '=

= π -2 0 [ e 2X' +X ' 2 + ( 2+ 1 e 2 ) 2 -2X' e X' -2( 2+ 1 e 2 ) e X' +2X'( 2+ 1 e 2 ) ] X '=

= π [ -2 0 e 2X' X '+ -2 0 X ' 2 X '+ ( 2+ 1 e 2 ) 2 -2 0 X '-2 -2 0 X' e X' X '-2( 2+ 1 e 2 ) -2 0 e X' X '+2( 2+ 1 e 2 ) -2 0 X' X ' ]=
= π { [ e 2X' 2 ] -2 0 + [ X ' 3 3 ] -2 0 + ( 2+ 1 e 2 ) 2 [ X' ] -2 0 -2 [ ( X'-1 ) e X' ] -2 0 -2( 2+ 1 e 2 ) [ e X' ] -2 0 +2( 2+ 1 e 2 ) [ X ' 2 2 ] -2 0 }=
= π { ( 1 2 - 1 2 e 4 )+( 8 3 )+ ( 2+ 1 e 2 ) 2 (2)-2( -1+ 3 e 2 )-2( 2+ 1 e 2 )( 1- 1 e 2 )+2( 2+ 1 e 2 )( -2 ) }=
= π { 1 2 - 1 2 e 4 + 8 3 + 2( 2+ 1 e 2 ) 2 +2- 6 e 2 -2( 2+ 1 e 2 )( 1- 1 e 2 )-4( 2+ 1 e 2 ) }=
= π { 1 2 - 1 2 e 4 + 8 3 +8+ 2 e 4 + 8 e 2 +2- 6 e 2 -4+ 4 e 2 - 2 e 2 + 2 e 4 -8- 4 e 2 }=
= π { ( 1 2 + 8 3 -2 )+( - 1 2 e 4 + 4 e 4 )+( 8 e 2 - 6 e 2 + 4 e 2 - 2 e 2 - 4 e 2 ) }= π { ( 3+16-12 6 )+( -1+8 2 ) 1 e 4 }= π ( 7 6 + 7 2 e 4 )