Problemi con funzioni N° 7

Il volume V₁(x) è il volume di un solido formato da un cono e un cilindro. È necessario trovare le coordinate di P in funzione di x. Essendo P obbligato ad appartenere al segmento AB la sua ordinata appartiene alla retta passante per B ed A:

y = y_{A} + (\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}) \cdot (x - x_{A}) \to y = 0 + (\frac{1 - 0}{0 - 2}) \cdot (x - 2) = - \frac{1}{2} x + 1

Il volume V₁(x) è dato da:

V_{1} (x) = V_{c i l i n d r o} + V_{c o n o} = π y_{P}^{2} \cdot x_{P} + \frac{1}{3} π y_{P}^{2} \cdot (x_{A} - x_{P}) = π {(1 - \frac{1}{2} x)}^{2} \cdot (x + \frac{2}{3} - \frac{x}{3}) = \frac{π}{6} {(2 - x)}^{2} (x + 1)

Il solido V₂(x) è un tronco di cono. Il suo volume è dato da:

V_{2} (x) = \frac{1}{3} π (x_{A}^{2} + x_{P}^{2} + x_{A} \cdot x_{P}) \cdot y_{P} = \frac{1}{3} π (4 + x^{2} + 2 x) \cdot (- \frac{1}{2} x + 1) = \frac{π}{6} \cdot (8 - x^{3})

La funzione cercata è: $f (x) = \frac{V_{1} (x)}{V_{2} (x)} = \frac{{(2 - x)}^{2} (x + 1)}{(8 - x^{3})}$

Studio della funzione: $f (x) = \frac{V_{1} (x)}{V_{2} (x)} = \frac{{(2 - x)}^{2} (x + 1)}{(8 - x^{3})}$ . Se lo studio deve essere trattato indipendentemente dalla questione geometrica la funzione può essere semplificata algebricamente. Infatti applicando lo sviluppo delle differenza di cubi: (8 - x³) = (2-x)·(4 - 2x + x²). Da cui: $f (x) = \frac{(2 - x) (x + 1)}{4 + 2 x + x^{2}}$

Campo di esistenza. C.E. = R
Simmetrie. Nessuna simmetria
Radici e intercetta.

Intercetta: f(0)= 1/2. Intercetta in A(0; ½)
Radici. Occorre risolvere l'equazione: $(2 - x) (x + 1) = 0 \to x^{2} - x - 2 = 0 \to x_{C D} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$ . B(2,0) e C(-1,0) due radici.

Asintoti. $\underset{x \to \pm \infty}{l i m} \frac{(2 - x) (x + 1)}{4 + 2 x + x^{2}} = - 1$ . La retta y= -1 asintoto orizzontale.

Segno della funzione. Dallo studio delle radici si vede subito che la funzione è positiva per ogni x ∈ [-1; 2]

Estremi. La derivata prima è:

$f' (x) = \frac{d}{d x} [\frac{(2 - x) (x + 1)}{4 + 2 x + x^{2}}] = - \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - x - 2}{4 + 2 x + x^{2}}) = - \frac{(2 x - 1) (4 + 2 x + x^{2}) - (x^{2} - x - 2) (2 x + 2)}{{(4 + 2 x + x^{2})}^{2}} =$

$= - \frac{8 x + 4 x^{2} + 2 x^{3} - 4 - 2 x - x^{2} - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x + 4 x + 4}{{(4 + 2 x + x^{2})}^{2}} = - 3 \frac{x^{2} + 4 x}{{(4 + 2 x + x^{2})}^{2}}$

Posta f'(x)= 0 si trovano estremi in x_A=0 e in x_D= -4. Le ordinate sono y_A= 1/2 e y_D= -3/2. Il segno positivo della derivata prima è dato dalla disequazione x²+4x < 0 da cui per tutte le x ∈ [-4, 0] la funzione è crescente. Quindi in A(0, ½) un massimo (assoluto) e in D(-4; -3/2) un minimo (assoluto).

Occorre separare le radici dell'equazione x³ + 6x² - 8= 0. Per farlo consideriamo le due funzioni:

{\begin{matrix} y = x^{3} \\ y = - 6 x^{2} + 8 \end{matrix}

tracciamo il loro grafico e notiamo che sono uguali in punti che cadono negli intervalli [-6; -5], [-2; 0] e [0; 2]. Dato che le funzioni sono le due parti in cui si può separare l'equazione data, proprio la loro uguaglianza rileva gli intervalli in cui cadono le radici. In realtà il quesito chiede solo l'intervallo di ascissa positiva [0; 2], per cui si procede ora alla ricerca della radice in tale intervallo.
Posta f(x)= x³ + 6x² - 8, f'(x)= 3x² + 12x e f"(x)= 6x + 12.
Il segno di f"(x). f"(x) > 0 se x > -2 per cui nell'intervallo [0; 2] la derivata seconda assume un segno costante. Ciò significa che si può applicare il metodo delle tangenti.

b
$c = b - \frac{f (b)}{f' (b)} = b - \frac{b^{3} + 6 b^{2} - 8}{{3 b}^{2} + 12 b} = \frac{2 b^{3} + 6 b^{2} + 8}{3 b^{2} + 12 b}$
$f (c) = b^{3} + 6 b^{2} - 8$
|b - c|

2
1.3333333333
24 0.6666666667

1.3333333333 1.0972222222
5.037037037   0.2361111111

1.0972222222                  1.0647803237
    0.5443217378 0.0324418985

1.0647803237

1.0641779788

    0.009745119 0.0006023449

In x= 1.06418 con un errore dello 0.06% è presente il flesso cercato.

Calcolo dell'area.

$S = \int_{0}^{2} f (x) ⅆ x = \int_{0}^{2} \frac{(2 - x) (x + 1)}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x = {-\int}_{0}^{2} \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x = - \int_{0}^{2} \frac{x^{2} + 2 x + 4 - 3 x - 6}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x = - \int_{0}^{2} (1 - \frac{3 x + 6}{x^{2} + 2 x + 4}) ⅆ x = - \int_{0}^{2} ⅆ x + \int_{0}^{2} \frac{3 x + 6}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x$

Occorre procedere all'integrazione della funzione razionale: $\int \frac{3 x + 6}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x$
Il discriminante del denominatore è negativo (vedi metodo)

$p x + q = A (2 x + \frac{b}{a}) + B \to 3 x + 6 = A (2 x + 2) + B \to 3 x + 6 = 2 A x + 2 A + B \to$ ${\begin{matrix} 2 A = 3 & \to A = \frac{3}{2} \\ 2 A + B = 6 & \to B = 6 - 2 A = 3 \end{matrix}$

$\int \frac{3 x + 6}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x = \int \frac{A (2 x + 2) + B}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x = \int \frac{\frac{3}{2} (2 x + 2) + 3}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x = \frac{3}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x + \int \frac{3}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x$

$\frac{3}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x = \frac{3}{2} \cdot l n | x^{2} + 2 x + 4 | + c$

$\int \frac{3}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x :$

$(x + m)^{2} + n^{2} = x^{2} + 2 x + 4 \to x^{2} + m^{2} + 2 x m + n^{2} = x^{2} + 2 x + 4 \to$ ${\begin{matrix} m = 1 \\ n^{2} = 4 - m^{2} = 3 \end{matrix}$

$\int \frac{3}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x = 3 \int \frac{1}{(x + m)^{2} + n^{2}} ⅆ x = 3 \int \frac{1}{(x + 1)^{2} + 3} ⅆ x = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot a r c t g (\frac{x + 1}{\sqrt{3}}) + c$

Quindi : $\int \frac{3 x + 6}{x^{2} + 2 x + 4} ⅆ x = \frac{3}{2} \cdot l n | x^{2} + 2 x + 4 | + \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot a r c t g (\frac{x + 1}{\sqrt{3}}) + c$
Calcolo dell'area:
$S = - {[x]}_{0}^{2} + \frac{3}{2} \cdot {[l n | x^{2} + 2 x + 4 |]}_{0}^{2} + \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot {[a r c t g (\frac{x + 1}{\sqrt{3}})]}_{0}^{2} = - 2 + \frac{3}{2} \cdot [l n (12) - l n (4)] + \frac{3}{\sqrt{3}} [a r c t g (\frac{3}{\sqrt{3}}) - a r c t g (\frac{1}{\sqrt{3}})] =$

$= - 2 + \frac{3}{2} \cdot l n (3) + \sqrt{3} (\frac{π}{3} - \frac{π}{6}) = - 2 + \frac{3}{2} \cdot l n (3) + \sqrt{3} \frac{π}{6}$