${{\gamma }_1:x}^2+y^2-2x+2y-8=0$ ; ${\gamma }_2:x^2+y^2-4x-2y=0$

1. Scrivi l'equazione dell'asse radicale;
2. Trova l'equazione della circonferenza del fascio:
   1. tangente alla retta $r:x-2y-4=0$ (γ₃);
   2. che stacca dalla retta s: $x-y-4=0$ una corda di misura $5\sqrt{2}$ (γ₄ e γ₅);
3. Determina i tre punti B, C e D di intersezione di γ₄ e γ₅ con la retta s. Chiama C e D i due punti non appartenenti all'asse radicale.
4. Determina l'area del triangolo avente vertici A, C e D con A punto base non appartenente a s;
5. Determina la retta t tangente a γ₃ e passante per A;
6. Determina la circonferenza γ₆ simmetrica di γ₃ rispetto la retta t
7. Determina la circonferenza γ₇ ottenuta traslando la γ₆ rispetto al vettore v= 2i+j
8. Determina la circonferenza γ₈ ottenuta ruotando la γ₆ di +30° rispetto l'origine degli assi.

Equazione del fascio: ${\gamma }_1+k{\gamma }_2=0\Rightarrow x^2+y^2-2x+2y-8+k·(x^2+y^2-4x-2y)=0$

Posto k=-1 si trova l'equazione dell'asse radicale: $-2x+2y-8+4x+2y=0\Rightarrow x+2y-4=0$

Punti base (sistema con una circonferenza del fascio e con l'asse radicale) :

$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2-4x-2y=0\\ x+2y-4=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\left(4-2y\right)}^2+y^2-4\left(4-2y\right)-2y=0\\ x=4-2y\end{array}\Rightarrow 16+4y^2-16y+y^2-16+8y-2y=0\Rightarrow 5y^2-10y=0\Rightarrow$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{y}_B=0,x_B=4\\ y_A=2,x_A=0\end{array}$

Circonferenza generica del fascio:

$x^2+y^2-2x+2y-8+k{x}^2+k{y}^2-4kx-2ky=0\Rightarrow \left(1+k\right)x^2+\left(1+k\right)y^2-2\left(1+2k\right)x+2\left(1-k\right)y-8=0\Rightarrow$${\Rightarrow x}^2+y^2-2\frac{1+2k}{1+k}x+2\frac{1-k}{1+k}y-\frac{8}{1+k}=0$

Coordinate del centro della generica circonferenza: $\{\begin{array}{c}\alpha \left(k\right)=\frac{1+2k}{1+k}\\ \beta \left(k\right)=\frac{k-1}{1+k}\end{array}$

Raggio della generica circonferenza:

$r\left(k\right)=\sqrt{{\alpha }^2\left(k\right)+{\beta }^2\left(k\right)-c}=\sqrt{\frac{{\left(1+2k\right)}^2}{{\left(1+k\right)}^2}+\frac{{\left(k-1\right)}^2}{{\left(1+k\right)}^2}+\frac{8}{1+k}}=\sqrt{\frac{1+4k^2+4k+k^2-2k+1+8+8k}{{\left(1+k\right)}^2}}=\frac{\sqrt{5k^2+10k+10}}{1+k}$

La distanza tra il centro della circonferenza del fascio γ₃ e la tangente r è uguale al raggio:

$r\left(k\right)=\frac{}{}$