N° 2 CIRCONFERENZE

Scrivi l'equazione del fascio di circonferenze passanti per A(0;1) e B(0;3). In tale fascio determina:

l'equazione della circonferenza γ₁ circoscritta al rettangolo di lato AB e perimetro 12, appartenente al semipiano x>0;
l'equazione della circonferenza γ₂ circoscritta all'esagono regolare di lato AB appartenente al semipiano x<0.


Una circonferenza del fascio è l'asse radicale : $x = 0$ Una seconda circonferenza passa per A e B ed ha centro nel loro punto medio (0;2): $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1 \Rightarrow x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ Quindi l'equazione del fascio è : $x^{2} + y^{2} - k x - 4 y + 3 = 0$ Gli altri vertici M e N del rettangolo appartengono alla circonferenza γ₁ e quindi bisogna imporre la condizione che y_M=y_B=3 e che y_N=y_A=1: L'ascissa di M deve soddisfare all'equazione: $x_{M}^{2} + 9 - k x_{M} - 12 + 3 = x_{M}^{2} + k x_{M} = 0$ . Da cui : $x_{M} = k$ (anche $x_{N} = k$ ). Noto il perimetro del rettangolo: $p = 2 \cdot \bar{AB} \cdot + 2 \cdot \bar{BM} = 2 \cdot 2 + 2 \cdot k = 12$ Da cui k= 4 e la circonferenza $γ_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 3 = 0$ Nel caso di γ₂ , la circonferenza circoscritta all'esagono regolare di lato AB, il suo raggio deve essere $r = \bar{AB} = 2$

Da cui, dalla relazione $c = α^{2} + β^{2} - r^{2}$ , si trova k:

$3 = \frac{k^{2}}{4} + 4 - 4 = \frac{k^{2}}{4} \Rightarrow k = \pm 2 \sqrt{3}$

Per appartenere al semipiano con x<0 deve essere $k = - 2 \sqrt{3}$

L'equazione di γ₂ è:

$x^{2} + y^{2} + 2 \sqrt{3} x - 4 y + 3 = 0$