N° 3 CIRCONFERENZE

Considerare il fascio determinato dalle due circonferenze:

$x^{2} + y^{2} - 16 x + 39 = 0$ e $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 3 = 0$

trovarne l'asse radicale e determinare i punti A e B comuni a tutte le circonferenze del fascio. Scrivere l'equazione della circonferenza del fascio passante per l'origine.


L'asse radicale è dato dal sistema: ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 16 x + 39 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 3 = 0 \end{matrix}$ Sottraendo la seconda dalla prima: $- 16 x + 39 + 4 x + 6 y - 3 = 0 \Rightarrow 2 x - y - 6 = 0$ Il sistema dell'asse radicale con una circonferenza fornirà i punti A e B: ${\begin{matrix} 2 x - y - 6 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 16 x + 39 = 0 \end{matrix} \Rightarrow x^{2} + {(2 x - 6)}^{2} - 16 x + 39 = 0 \Rightarrow$ $\Rightarrow x^{2} + 4 x^{2} + 36 - 24 x - 16 x + 39 = 0 \Rightarrow x^{2} - 8 x + 15 = 0 \Rightarrow$ $x = 4 \pm \sqrt{16 - 15} = {\begin{matrix} x_{A} = 4 + 1 = 5 \\ x_{B} = 4 - 1 = 3 \end{matrix}$ I punti richiesti sono $A (5; 4)$ e $B (3; 0)$ L'equazione del fascio è: $x^{2} + y^{2} - 16 x + 39 + k (2 x - y - 6) = 0 \Rightarrow$ $\Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 (k - 8) x - k y + 39 - 6 k = 0$

La circonferenza che passa per l'origine deve avere il termine in c nullo:

$39 - 6 k = 0 \Rightarrow k = \frac{13}{2}$

La sua equazione è: $γ_{3} : x^{2} + y^{2} - 3 x - \frac{13}{2} y = 0$