N° 1 CONICHE

Il triangolo ABC è isoscele sulla base BC e contiene il centro della circonferenza k circoscritta a esso. Condotta la retta t tangente a k in C, indicare con D la proiezione ortogonale di A su t e con E quella di A su BC.

Dimostrare che i triangoli ACD e ACE sono congruenti.
Ammesso che le misure del raggio della circonferenza k e del segmento AE, rispetto a un’assegnata unità siano 5/4 e 2, riferire il piano della figura a un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy) in modo però che l’asse x sia parallelo alla retta BC.
Trovare:
1. le coordinate dei punti B, C, D;
2. l’equazione della circonferenza k;
3. l’equazione della parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti B, C, D.
Stabilire analiticamente se la circonferenza k e la parabola p hanno altri punti in comune oltre ai punti B e C.


I triangoli sono rettangoli per costruzione e hanno il lato AC in comune. Dato il centro della circonferenza O, l'angolo $O \hat{C} D$ deve essere retto perchè la retta t è tangente alla circonferenza. Inoltre, poichè il triangolo OAC è isoscele, detta α la semiapertura del vertice del triangolo ABC, deve essere l'angolo $A \hat{C} D = \frac{π}{2} - α$ . Ma osservando il triangolo ACE anche l'angolo $A \hat{C} E = \frac{π}{2} - α$ . Da cui la tesi per il terzo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. Nella scelta effettuata le coordinate del punto A sono B(0;0) (origine degli assi). Dalla figura si ricava che $OE = AE - AO = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$ E, applicando il teorema di Pitagora, si ricava EC: $EC = \sqrt{{OC}^{2} - {OE}^{2}}$ = $\sqrt{\frac{25}{16} - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16}{16}} = 1$ Da cui C(1;-2) e B(-1;-2).
Per quanto riguarda il punto D esso è l'intersezione di due rette, la retta t e la retta r per perpendicolare a t in D e passante per A. La circonferenza ha equazione: $x^{2} + {(y + \frac{5}{4})}^{2} = \frac{25}{16} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + \frac{25}{16} + \frac{5}{2} y = \frac{25}{16} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + \frac{5}{2} y = 0$ Applicando la formula di sdoppiamento nel punto C si ricava l'equazione della retta t: $x x_{C} + y y_{C} + \frac{5}{2} \cdot \frac{y + y_{C}}{2} = 0 \Rightarrow x - 2 y + \frac{5}{4} \cdot (y - 2) = 0 \Rightarrow 4 x - 3 y - 10 = 0$ Il suo coefficiente angolare è m_r=4/3. Il coefficiente angolare della retta r sarà: m_r= -3/4, da cui la retta r ha equazione y=-3x/4

Ponendo le due rette in un sistema: ${\begin{matrix} 4 x - 3 y - 10 = 0 \\ y = - \frac{3}{4} x \end{matrix} \Rightarrow 4 x + \frac{9}{4} x = 10 \Rightarrow \frac{25}{4} x = 10 \Rightarrow x_{D} = \frac{8}{5}$ e $y_{D} = - \frac{3}{4} \cdot x_{D} = - \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = - \frac{6}{5}$ .

Il punto D(8/5; -6/5)

Per ottenere l'equazione della parabola si deve risolvere il sistema: ${\begin{matrix} y_{B} = a x_{B}^{2} + b x_{B} + c \\ y_{C} = a x_{C}^{2} + b x_{C} + c \\ y_{D} = a x_{D}^{2} + b x_{D} + c \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} - 2 = a - b + c \\ - 2 = a + b + c \\ - \frac{6}{5} = \frac{64}{25} a + \frac{8}{5} b + c \end{matrix}$

Sommando la prima alla seconda :

$- 4 = 2 a + 2 c \Rightarrow c = - a - 2$

Sommando la prima ai 5/8 della terza:

$- 2 + \frac{5}{8} \cdot (- \frac{6}{5}) = a - b + c + \frac{5}{8} \cdot \frac{64}{25} \cdot a + \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5} \cdot b + \frac{5}{8} c \Rightarrow - 2 - \frac{3}{4} = a + \frac{8}{5} a + c + \frac{5}{8} c \Rightarrow - \frac{11}{4} = \frac{13}{5} a + \frac{13}{8} c$

Sostituendo c= -a - 2 :

$- \frac{11}{4} = \frac{13}{5} a - \frac{13}{8} (a + 2) \Rightarrow - \frac{11}{4} + \frac{13}{4} = (\frac{13}{5} - \frac{13}{8}) a \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{39}{40} a \Rightarrow a = \frac{20}{39}$

Da cui c:

$c = - a - 2 = - \frac{20}{39} - 2 = - \frac{20 + 78}{39} = - \frac{98}{39}$

Si vede che se c= -a -2 allora b deve essere zero (i punti di una parabola canonica sono simmetrici rispetto ad una retta passante per il vertice).

Se ci sono altri punti comuni tra parabola e circonferenza si ricava risolvendo il sistema delle due coniche:

${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + \frac{5}{2} y = 0 \\ y = \frac{20}{39} x^{2} - \frac{98}{39} \end{matrix} \Rightarrow y = - \frac{20}{39} (y^{2} + \frac{5}{2} y) - \frac{98}{39} \Rightarrow 20 y^{2} + 50 y + 39 y + 98 = 0 \Rightarrow 20 y^{2} + 89 y + 98 = 0$

Risolvendo l'equazione di 2° grado:

$y = \frac{- 89 \pm \sqrt{7921 - 7840}}{40} = \frac{- 89 \pm \sqrt{81}}{40} = \frac{- 89 \pm 9}{40} = {\begin{matrix} - 2 \\ - \frac{98}{40} = - \frac{49}{20} = - 2.45 \end{matrix}$

I punti di ordinata y=-2 sono i punti B e C.

Altri due punti sono F ed H di ascissa : $x = \pm \sqrt{- y^{2} - \frac{5}{2} y} = \pm \sqrt{- \frac{2401}{400} + \frac{5}{2} \cdot \frac{49}{20}} = \pm \sqrt{\frac{- 2401 + 2450}{400}} = \pm \sqrt{\frac{49}{400}} = \pm \frac{7}{20} ≃ \pm 0.35$