N° 10 CONICHE

Scrivere le equazioni di due parabole con gli assi perpendicolari tra loro e aventi, la prima, per direttrice la retta di equazione y= -15/4 e per fuoco F(0; -9/4), e la seconda, passante per il vertice della prima ed avente il suo vertice nel punto, di ascissa negativa, intersezione della prima parabola con l'asse delle ascisse. Determinare infine l'equazione della circonferenza passante per i punti di intersezione delle due parabole.


La prima parabola ha direttrice $y_{D} = - \frac{15}{4}$ e fuoco $F (0; - \frac{9}{4})$ , da cui: ${\begin{matrix} - \frac{15}{4} = - \frac{1 + Δ}{4 a} \\ 0 = - \frac{b}{2 a} \\ - \frac{9}{4} = \frac{1 - Δ}{4 a} \end{matrix}$ Dalla seconda condizione si ricava b=0. La prima e la terza si possono ora scrivere: ${\begin{matrix} 15 a = 1 - 4 ac \\ - 9 a = 1 + 4 ac \end{matrix}$ Sommando la prima alla seconda si ricava: $6 a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{3}$ E infine $c = \frac{1 - 15 a}{4 a} = \frac{1 - \frac{15}{3}}{4 \cdot \frac{1}{3}} = - \frac{12}{4} = - 3$ . La prima parabola ha equazione: $γ_{1} : y = \frac{1}{3} x^{2} - 3$ Il vertice è in $V (0; - 3)$ . L'intersezione negativa della parabola con l'asse delle ascisse è $A (- 3; 0)$ Da cui, per la seconda parabola: ${\begin{matrix} - 3 = - \frac{Δ}{4 a} \\ 0 = - \frac{b}{2 a} \\ 0 = 9 a - 3 b + c \end{matrix}$

Dalla seconda condizione si ricava b=0. La prima e la terza si possono ora scrivere: ${\begin{matrix} 12 a = - 4 ac \\ c = - 9 a \end{matrix}$

Sostituendo c : $12 a = 36 a^{2} \Rightarrow a = \frac{1}{3}$ e $c = - 9 \cdot \frac{1}{3} = - 3$ . La seconda parabola ha equazione: $γ_{2} : x = \frac{1}{3} y^{2} - 3$

Le due parabole si intersecano nei punti A(-3;0) e V(0;-3) . Osservandone la forma analitica si deduce che una si trasforma nell'altra per mezzo di simmetria assiale rispetto la bisettrice del I e III quadrante. Quindi ci saranno due punti comuni con la stessa ascissa e ordinata:

$x = \frac{1}{3} x^{2} - 3 \Rightarrow x^{2} - 3 x - 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2} = {\begin{matrix} \frac{3 + \sqrt{45}}{2} = \frac{3}{2} (1 + \sqrt{5}) \\ \frac{3 - \sqrt{45}}{2} = \frac{3}{2} (1 - \sqrt{5}) \end{matrix}$

Quindi per ricavare l'equazione della circonferenza richiesta occorre imporre che passi pei i punti $A (- 3; 0)$ , $V (0; - 3)$ e $D (\frac{3}{2} (1 + \sqrt{5}); \frac{3}{2} (1 + \sqrt{5}))$ :

${\begin{matrix} 9 - 3 a + c = 0 \\ 9 - 3 b + c = 0 \\ \frac{9}{2} {(1 + \sqrt{5})}^{2} + \frac{3}{2} (a + b) (1 + \sqrt{5}) + c = 0 \end{matrix}$

Sommando la prima con la seconda: $18 - 3 (a + b) + 2 c = 0 \Rightarrow 3 (a + b) = 18 + 2 c$

Sostituendo nella terza:

$9 {(1 + \sqrt{5})}^{2} + (18 + 2 c) (1 + \sqrt{5}) + 2 c = 0 \Rightarrow 9 + 45 + 18 \sqrt{5} + 18 + 18 \sqrt{5} + 2 c + 2 \sqrt{5} c + 2 c = 0 \Rightarrow 2 (2 + \sqrt{5}) c = - (36 \sqrt{5} + 72) \Rightarrow c = - 18$

Da cui, dalla prima e dalla seconda,: $a = 3 + \frac{c}{3} = 3 - \frac{18}{3} = - \frac{9}{3}$ e $b = - \frac{9}{3}$

L'equazione della circonferenza è : $x^{2} + y^{2} - \frac{9}{3} x - \frac{9}{3} y - 18 = 0$