N° 3 CONICHE

L’ellisse di equazione $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ interseca l’asse delle x nei punti A e B e l’ascissa di A è negativa. Detti rispettivamente P e Q i punti del primo e del quarto quadrante ottenuti intersecando l’ellisse con la parallela all’asse y passante per il fuoco F₁ di ascissa positiva, verificare che l’origine degli assi è il baricentro del triangolo PAQ. Determinare poi:

la misura del perimetro del triangolo;
l'equazione della retta contenente la mediana uscente da Q;
l'equazione della parabola passante per P, Q, M, essendo M il punto medio di AP


I fuochi dell'ellisse sono $F_{1} = - \sqrt{a^{2} - b^{2}} = - \sqrt{36 - 27} = - \sqrt{9} = 3$ e $F_{2} = + 3$ Ricaviamo le intersezioni della retta x= 3 con l'ellisse: $\frac{3^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{27} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow y = \pm \frac{9}{2}$ I punti P e Q sono : $P (3; \frac{9}{2})$ e $Q (3; - \frac{9}{2})$ . Il baricentro del triangolo PAQ è: $x_{O} = \frac{x_{Q} + x_{P} + x_{A}}{3} = \frac{3 + 3 - 6}{3} = 0$ e $y_{O} = \frac{y_{Q} + y_{P} + y_{A}}{3} = \frac{\frac{9}{2} - \frac{9}{2} + 0}{3} = 0$ I segmenti: $\bar{PQ} = 9$ ; $\bar{AQ} = \bar{AP} = \sqrt{{(3 + 6)}^{2} + {(\frac{9}{2})}^{2}} = \sqrt{81 + \frac{81}{4}} = \frac{9}{2} \sqrt{5}$ Il perimetro (triangolo isoscele) : $p = \bar{PQ} + 2 \cdot \bar{AP} = 9 \cdot (1 + \sqrt{5})$
Punto medio del segmento AP: $x_{M} = \frac{x_{P} + x_{A}}{2} = \frac{3 - 6}{2} = - \frac{3}{2}$ ; $y_{M} = \frac{y_{P} + y_{A}}{2} = \frac{\frac{9}{2} + 0}{2} = \frac{9}{4}$ Equazione della retta contenente la mediana uscente da Q: $\frac{x - x_{M}}{x_{Q} - x_{M}} = \frac{y - y_{M}}{y_{Q} - y_{M}} \Rightarrow \frac{x + \frac{3}{2}}{3 + \frac{3}{2}} = \frac{y - \frac{9}{4}}{- \frac{9}{2} - \frac{9}{4}} \Rightarrow \frac{2 x + 3}{9} = \frac{4 y - 9}{- 27} \Rightarrow - 6 x - 9 = 4 y - 9 \Rightarrow 3 x + 2 y = 0$ Equazione della parabola per P, Q ed M (è evidente che l'asse di simmetria è parallelo all'asse delle ascisse): ${\begin{matrix} x_{P} = a y_{P}^{2} + b y_{P} + c \\ x_{Q} = a y_{Q}^{2} + b y_{Q} + c \\ x_{M} = a y_{M}^{2} + b y_{M} c + c \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} 3 = \frac{81}{4} a + \frac{9}{2} b + c \\ 3 = \frac{81}{4} a - \frac{9}{2} b + c \\ - \frac{3}{2} = \frac{81}{16} a + \frac{9}{4} b + c \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} 12 = 81 a + 18 b + 4 c \\ 12 = 81 a - 18 b + 4 c \\ - 24 = 81 a + 36 b + 16 c \end{matrix}$ Sottraendo la prima dalla seconda: $0 = 36 b \Rightarrow b = 0$ Con b=0 sottraendo la terza dalla seconda: $36 = - 12 c \Rightarrow c = - 3$ Infine $a = \frac{12 - 4 c}{81} = \frac{12 + 12}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$ . L'equazione della parabola p è $x = \frac{8}{27} y^{2} - 3$