N° 4 CONICHE

Considera l'iperbole γ di equazione $y = \frac{a x - 6}{x + b}$

Determina a e b in modo che abbia come asintoti le rette di equazione x= -3 e y= -2;
determina l'equazione della tangente all'iperbole nei suoi punti di intersezione con l'asse delle ascisse;
determina l'equazione dell'iperbole γ' simmetrica a γ rispetto al suo asintoto orizzontale;
determina l'equazione dell'iperbole γ" simmetrica a γ' rispetto all'asse delle ordinate;
determina l'equazione della parabola passante per i punti di intersezione di γ e γ" con gli assi.


Nell'iperbole equilatera data gli asintoti orizzontale e verticale sono legati ai parametri con le relazioni: ${\begin{matrix} x_{a} = - b \\ y_{a} = a \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} - 3 = - b \\ - 2 = a \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} b = 3 \\ a = - 2 \end{matrix}$ L'equazione dell'iperbole è: $y = - 2 \cdot \frac{x + 2}{x + 3}$ Per ottenere il suo punto di intersezione con l'asse delle ascisse occorre porre y=0. Si vede che questo è $A (- 2; 0)$ Il fascio di rette passanti per A è $y = m (x + 2)$ . Per ottenere la retta tangente a γ si può formare il sistema fascio-iperbole: $m (x + 2) = - 2 \cdot \frac{x + 2}{x + 3} \Rightarrow$ $\Rightarrow m x + 3 m = - 2$ ma $x = - 2$ . Quindi: $- 2 m + 3 m = - 2 \Rightarrow m = - 2$ . La retta tangente è $y = - 2 (x + 2)$ La simmetria rispetto ad un asse y= k parallelo all'asse delle ascisse è data dal sistema: ${\begin{matrix} x' = x \\ y' = - y + 2 k \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} x = x' \\ y = - y' + 2 k \end{matrix}$ In questo caso : ${\begin{matrix} x = x' \\ y = - y' - 4 \end{matrix}$ .

Sostituendo si ricava l'equazione di γ':

$- y' - 4 = - 2 \cdot \frac{x' + 2}{x' + 3} \Rightarrow y' = 2 \cdot \frac{x' + 2}{x' + 3} - 4 = \frac{2 x' + 2 - 4 x' - 12}{x' + 3} = - \frac{2 x' + 10}{x' + 3}$

La simmetria rispetto all'asse delle ordinate si ricava mediante la trasformazione:

${\begin{matrix} x = - x " \\ y = y " \end{matrix}$

Sostituendo in γ si ricava l'equazione di γ": $y " = - 2 \cdot \frac{- x " + 2}{- x " + 3} \Rightarrow y " = - 2 \cdot \frac{2 - x "}{3 - x "}$

L'iperbole γ incontra l'asse delle ascisse nel punto $A (- 2; 0)$

L'iperbole γ" incontra l'asse delle ascisse nel punto $N (2; 0)$ e l'asse delle ordinate nel punto $R (0; - \frac{4}{3})$

L'equazione della parabola deve essere del tipo $y = a x^{2} + c$ dato che il vertice si trova nel'asse delle ordinate.

Inoltre, dalle formule del vertice, $c = - \frac{4}{3}$ e, se passa da $N (2; 0)$ una seconda condizione è: $4 a + c = 0$

Da cui sostituendo: $a = - \frac{c}{4} = \frac{1}{3}$ . L'equazione della parabola richiesta è $y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3}$