N° 5 CONICHE

L’iperbole di equazione $x^{2} - y^{2} = k$ è tangente nel punto A alla retta t di equazione $3 x - 2 y - 5 = 0$ ; scrivere l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse y, che passa per l’origine O del sistema di riferimento e che nel punto A è tangente alla retta n, normale in A all’iperbole. Considerato un punto P sull’arco OA di parabola, siano H e M, rispettivamente, le proiezioni di P su t e su n; determinare la posizione di P in modo che il perimetro del rettangolo PHAM misuri $\frac{15}{\sqrt{13}}$


L'equazione della retta tangente all'iperbole è possibile ricavarla con la formula di sdoppiamento: $x \cdot x_{A} - y \cdot y_{A} = k$ confrontandola con la retta data si ricava che: ${\begin{matrix} x_{A} = 3 \\ y_{A} = 2 \\ k = 5 \end{matrix}$ Retta n normale in A all'iperbole: $y - 2 = - \frac{2}{3} \cdot (x - 3) \Rightarrow 2 x + 3 y - 12 = 0$ Una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y che passa per l'origine ha equazione: $y = a x^{2} + bx$ Se tangente in A alla retta n si può applicare la formula di sdoppiamento: $\frac{y + y_{A}}{2} = a \cdot x \cdot x_{A} + b \cdot \frac{x + x_{A}}{2} \Rightarrow \frac{y + 2}{2} = 3 a x + b \cdot \frac{x + 3}{2} \Rightarrow y + 2 = 6 ax + bx + 3 b \Rightarrow (6 a + b) x - y + (3 b - 2) = 0$ Da cui deve essere, confrontando con l'equazione di n, : ${\begin{matrix} 6 a + b = - \frac{2}{3} \\ 3 b - 2 = 4 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} a = \frac{- 2 - \frac{2}{3}}{6} = - \frac{4}{9} \\ b = 2 \end{matrix}$ L'equazione della parabola è $p : y = - \frac{4}{9} x^{2} + 2 x$
Il punto P ha coordinate $P (x; - \frac{4}{9} x^{2} + 2 x)$ La distanza PH dalla retta $n : 2 x + 3 y - 12 = 0$ : $\bar{PH} = \frac{∣ 2 x - \frac{4}{3} x^{2} + 6 x - 12 ∣}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{∣ 24 x - 4 x^{2} - 36 ∣}{3 \sqrt{13}}$ La distanza PN dalla retta $t : 3 x - 2 y - 5 = 0$ : $\bar{PN} = \frac{∣ 3 x + \frac{8}{9} x^{2} - 4 x - 5 ∣}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{∣ 8 x^{2} - 9 x - 45 ∣}{9 \sqrt{13}}$ Il perimetro del rettangolo è: $p = 2 \cdot (\bar{PH} + \bar{PN}) = 2 \cdot \frac{∣ 24 x - 4 x^{2} - 36 ∣}{3 \sqrt{13}} + 2 \cdot \frac{∣ 8 x^{2} - 9 x - 45 ∣}{9 \sqrt{13}} = \frac{15}{\sqrt{13}}$ con x>0 Per risolvere l'equazione occorre porre gli argomenti dei valori assoluti positivi : ${\begin{matrix} - 4 x^{2} + 24 x - 36 \geq 0 \\ 8 x^{2} - 9 x - 45 \geq 0 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} x^{2} - 6 x + 9 \leq 0 \\ 8 x^{2} - 9 x - 45 \geq 0 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} ∄ x \in ℝ \\ x \leq - \frac{15}{6} \lor x \geq 3 \end{matrix}$ Quindi si può scrivere il perimetro come: $p = - 2 \frac{24 x - 4 x^{2} - 36}{3 \sqrt{13}} - 2 \cdot \frac{8 x^{2} - 9 x - 45}{9 \sqrt{13}} = \frac{15}{\sqrt{13}} \Rightarrow 24 x^{2} - 144 x + 216 - 16 x^{2} + 18 x + 90 = 135 \Rightarrow 8 x^{2} - 126 x + 171 = 0 \Rightarrow x = {\begin{matrix} \frac{57}{4} \\ \frac{3}{2} \end{matrix}$ Nell'intervallo considerato $x_{P} = \frac{3}{2}$ e $y_{P} = - \frac{4}{9} x_{P}^{2} + 2 \cdot x_{P} = - \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} + \frac{6}{2} = - 1 + 3 = 2$