N° 6 CONICHE

Considerare l’iperbole di equazione $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ . La perpendicolare a uno degli asintoti, uscente dal fuoco di ascissa positiva, interseca il semiasse positivo delle y in un punto P. Trovare la misura del perimetro del triangolo avente per vertici i fuochi dell’iperbole e il punto P. Trovare inoltre l’equazione della circonferenza tangente agli asintoti, avente per centro il punto P.


Le equazioni degli asintoti sono $y = \pm \frac{3}{4} x$ Il fuoco con ascissa positiva è: $F_{1} (5; 0)$ , l'altro, con ascissa negativa, è $F_{2} = (- 5; 0)$ La perpendicolare indicata è: $y - 0 = - \frac{4}{3} (x - 5) \Rightarrow 4 x + 3 y - 20 = 0$ Il punto P è $P (0; \frac{20}{3})$ . La distanza: $\bar{P F_{1}} = \sqrt{{(x_{P} - x_{F_{1}})}^{2} + {(y_{P} - y_{F_{1}})}^{2}} = \sqrt{25 + \frac{400}{9}} = \sqrt{\frac{225 + 400}{9}} = \frac{25}{3}$ Il perimetro del triangolo (isoscele) : $p = \bar{F_{1} F_{2}} + 2 \cdot \bar{P F_{1}} = 10 + \frac{50}{3} = \frac{80}{3}$ Il punto A di intersezione tra la retta r e l'asintoto: ${\begin{matrix} y = \frac{3}{4} x \\ 4 x + 3 y - 20 = 0 \end{matrix} \Rightarrow 4 x + \frac{9}{4} x - 20 = 0 \Rightarrow \frac{25}{4} x = 20 \Rightarrow x_{A} = \frac{16}{5}$ $y_{A} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{5} = \frac{12}{5}$
L'equazione della circonferenza di centro $P (0; \frac{20}{3})$ e raggio $r = \sqrt{{(x_{P} - x_{A})}^{2} + {(y_{P} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{16}{5})}^{2} + {(\frac{20}{3} - \frac{12}{5})}^{2}} = \sqrt{\frac{256}{25} + \frac{4096}{225}} = \sqrt{\frac{6400}{225}} = \frac{80}{15}$ è: ${(x - x_{P})}^{2} + {(y - y_{P})}^{2} = r^{2} \Rightarrow {(x)}^{2} + {(y - \frac{20}{3})}^{2} = \frac{6400}{225} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + \frac{400}{9} - \frac{40}{3} y - \frac{6400}{225} = 0 \Rightarrow x^{2} + y^{2} - \frac{40}{3} y + 16 = 0$