N° 7 CONICHE

In un sistema di assi cartesiani ortogonali determinare l’equazione dell’ellisse passante per l’origine degli assi, avente per fuochi i punti F₁(1;1) e F₂(1;-1). Determinare l’equazione dell’iperbole che ha un vertice nel punto V(1;0) e un fuoco nel punto F(2;0). Determinare gli asintoti dell’iperbole e la misura S₁ dell’area del triangolo formato dagli asintoti dell’iperbole e dall’asse di simmetria dell’ellisse parallelo all’asse delle ordinate. Determinare infine la misura S₂ dell’area del triangolo formato dalle intersezioni dell’ellisse e dell’iperbole e dall’origine degli assi.


A causa della posizione dei fuochi il centro dell'ellisse è nel punto C(1;0) e poichè passa per l'origine degli assi la sua equazione sarà quella di un'ellisse di fuochi $F_{1}^{'} (0; 1)$ e $F_{2}^{'} (0; - 1)$ e semiasse minore a= 1. Si ha che $b^{2} = a^{2} + c^{2} = 1 + 1 = 2$ . Da cui $\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ è l'equazione dell'ellisse canonica. Per ricavare l'equazione della ellisse richiesta occorre operare una traslazione di vettore V(1;0): ${\begin{matrix} x = x - 1 \\ y = y \end{matrix}$ Da cui, sostituendo: ${(x - 1)}^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1 \Rightarrow x^{2} + 1 - 2 x + \frac{y^{2}}{2} = 1 \Rightarrow 2 x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ L'iperbole avrà a= 1 e c= 2 da cui $b^{2} = c^{2} - a^{2} = 4 - 1 = 3$ . La sua equazione è $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ . Gli asintoti sono $y = \pm \sqrt{3} x$ L'asse di simmetria dell'ellisse parallelo al'asse delle ordinate è dato dall'equazione x=1 I punti di intersezione con gli asintoti sono: $A (1; \sqrt{3})$ e $B (1; - \sqrt{3})$ L'area del triangolo (isoscele) è : ${Area}_{1} = \frac{\bar{AB} \cdot x_{V}}{2} = \frac{2 \sqrt{3} \cdot 1}{2} = \sqrt{3}$
Intersezioni dell'ellisse γ₁ e dell'iperbole γ₂: ${\begin{matrix} 2 x^{2} + y^{2} - 4 x = 0 \\ x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} 2 x^{2} + y^{2} - 4 x = 0 \\ y^{2} = 3 x^{2} - 3 \end{matrix} \Rightarrow 2 x^{2} + 3 x^{2} - 3 - 4 x = 0 \Rightarrow 5 x^{2} - 4 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 15}}{5} = {\begin{matrix} \frac{2 - \sqrt{19}}{5} \\ \frac{2 + \sqrt{19}}{5} \end{matrix}$ La soluzione accettabile è quella positiva $x_{D} = x_{C} = \frac{2 + \sqrt{19}}{5}$ Le ordinate sono: $y_{CD} = \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{x_{CD}^{2} - 1} = \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{4 + 19 + 4 \sqrt{19} - 25}{25}} = \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{4 \sqrt{19} - 2}{25}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{5} \cdot \sqrt{2 \sqrt{19} - 1}$ L'area del triangolo (isoscele) è: ${Area}_{2} = y_{CD} \cdot x_{D} = \frac{\sqrt{6}}{25} \cdot \sqrt{2 \sqrt{19} - 1} \cdot (\sqrt{19} + 2) ≃ 1.730869 . . .$