I punti di intersezione tra l'ellisse e la retta:

$\{\begin{array}{c}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\\ 2y=x\end{array}\Rightarrow \frac{4y^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\Rightarrow \frac{y^2}{2}=1\Rightarrow y_{\mathrm{AB}}=\pm \sqrt{2}$

Da cui $A\left(-2\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$ e $B(2\sqrt{2};\sqrt{2})$

Data la posizione del fuoco l'iperbole deve essere del tipo:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$

Dalla condizione che passi per A o B si ottiene una condizione su a² e b²:

$\frac{8}{a^2}-\frac{2}{b^2}=-1$

Per l'iperbole $c^2=a^2+b^2=9$.

Da cui: $\{\begin{array}{c}8b^2-2a^2={-a}^2{b}^2\\ a^2+b^2=9\end{array}\Rightarrow$

$\Rightarrow 8\left(9-a^2\right)-2a^2=-\left(9-a^2\right)·a^2\Rightarrow 72-8a^2-2a^2+9a^2-a^4=0\Rightarrow a^4+a^2-72=0\Rightarrow$

$\Rightarrow a^2=\frac{-1\pm \sqrt{1+288}}{2}=\{\begin{array}{c}\frac{-1+17}{2}=8\\ \frac{-1-17}{2}=-9\end{array}$

Soluzioni accettabili sono a²=8 e b²= 9 - 8 = 1.

L'equazione dell'iperbole è: $\frac{x^2}{8}-y^2=-1$, i vertici sono $V_1\left(0;1\right)$, $V_2\left(0;-1\right)$. Le equazioni degli asintoti sono: $y=\pm \frac{1}{2\sqrt{2}}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}x$

Data la posizione simmetrica rispetto l'origine degli assi dei punti di intersezione l'equazione della circonferenza deve essere del tipo:

$x^2+y^2-r^2=0$

r² è la distanza dall'origine di un punto di intersezione, per esempio A: $r^2=x_A^2+y_A^2=8+2=10$

L'equazione della circonferenza allora è: ${\gamma }_3:x^2+y^2-10=0$