N° 9 CONICHE

Un triangolo ABC è tale che AB=8, BC=4 e AC= 6. Ridefinisci il triangolo ad un conveniente sistema di riferimento cartesiano orogonale e scrivi le equazioni dell'ellisse e dell'iperbole che hanno fuochi in A e B e passano per C essendo C punto di intersezione dell'ellisse e dell'iperbole. Determina infine le equazioni delle due circonferenze aventi centro nell'asse delle ascisse passanti per i vertici dello stesso segno delle due coniche e l'area di piano compresa fra l'ellisse e le due circonferenze


Poichè in A e in B sono collocati i fuochi delle due coniche è conveniente scegliere un sistema di assi con A(-4;0) e B(4;0). Per il punto C(x;y) bisogna imporre le condizioni: ${(x - x_{B})}^{2} + {(y - y_{B})}^{2} = {\bar{BC}}^{2} = 16$ ${(x - x_{A})}^{2} + {(y - y_{A})}^{2} = {\bar{AC}}^{2} = 36$ Sostituendo le coordinate di A e B: ${\begin{matrix} {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 16 \\ {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 36 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} x^{2} + 16 - 8 x + y^{2} - 16 = 0 \\ x^{2} + 16 + 8 x + y^{2} - 36 = 0 \end{matrix}$ Sottraendo la prima dalla seconda: $16 x - 20 = 0 \Rightarrow x_{C} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$ $y_{C} = \pm \sqrt{8 x_{C} - x_{C}^{2}} = \pm \sqrt{8 \cdot \frac{5}{4} - \frac{25}{16}} = \pm \sqrt{\frac{160 - 25}{16}} = \pm \frac{3}{4} \sqrt{15}$ In realtà sono due i triangoli, uno simmetrico all'altro. L'ellisse che ha i fuochi in A e B e passa per C: ${\begin{matrix} a^{2} - b^{2} = c^{2} = 16 \\ \frac{\frac{25}{16}}{a^{2}} + \frac{\frac{135}{16}}{b^{2}} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} a^{2} = 16 + b^{2} \\ 25 b^{2} + 135 a^{2} = {16 a}^{2} b^{2} \end{matrix} \Rightarrow$ $\Rightarrow 25 b^{2} + 135 (16 + b^{2}) = 16 (16 + b^{2}) b^{2} \Rightarrow b^{4} + 6 b^{2} - 135 = 0$ ⇒ $\Rightarrow b^{2} = - 3 \pm \sqrt{9 + 135} = {\begin{matrix} - 3 + 12 = 9 \\ - 3 - 12 = - 15 \end{matrix}$
Quindi b²= 9 e a²= 16 + 9 = 25. L'equazione dell'ellisse è: $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ L'iperbole che ha i fuochi in A e B e passa per C: ${\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + b^{2} = 16 \\ \frac{\frac{25}{16}}{a^{2}} - \frac{\frac{135}{16}}{b^{2}} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} a^{2} = 16 - b^{2} \\ 25 b^{2} - 135 a^{2} = 16 a^{2} b^{2} \end{matrix} \Rightarrow 25 b^{2} - 135 (16 - b^{2}) = 16 (16 - b^{2}) b^{2} \Rightarrow$ $\Rightarrow 16 b^{4} - 96 b^{2} - 2160 = 0 \Rightarrow b^{4} - 6 b^{2} - 135 = 0 \Rightarrow b^{2} = 3 \pm \sqrt{144} = {\begin{matrix} 3 + 12 = 15 \\ 3 - 12 = - 9 \end{matrix}$ Quindi a²= 16 - b² = 16 - 15 = 1. L'equazione dell'iperbole è: $x^{2} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ I vertici delle due coniche sono nei punti (±5;0) (ellisse) e (±1;0) (iperbole). Quindi i centri delle due circonferenze devone essere nei punti (±3;0) e i raggi devono essere r= 2. Da cui le equazioni delle due circonferenze: ${\begin{matrix} γ_{3} : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0 \\ γ_{4} : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 6 x + 5 = 0 \end{matrix}$ L'area di piano tra l'ellisse e le circonferenze: $Area = π ab - 2 π r^{2} = π (15 - 8) = 7 π$