N° 1 ELLISSI

Scrivere l’equazione dell’ellisse canonica sapendo che essa passa per i punti P e Q della retta

2 x + 5 y - 18 = 0

di ordinata rispettivamente 3 e 2. Determinare poi:

l'equazione delle tangenti t e r all’ellisse nel punto P e nel punto Q;
l'intersezione R delle tangenti;
l'area del triangolo PQR.


Le ascisse dei punti P e Q sono: $x_{P} = \frac{18 - 5 y_{P}}{2} = \frac{18 - 5 \cdot 3}{2} = \frac{3}{2}$ e: $x_{Q} = \frac{18 - 5 y_{Q}}{2} = \frac{18 - 5 \cdot 2}{2} = 4$ Se l'ellisse passa per P e Q deve essere che: ${\begin{matrix} \frac{x_{P}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{P}^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \frac{x_{Q}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{Q}^{2}}{b^{2}} = 1 \end{matrix}$ Da cui: ${\begin{matrix} \frac{\frac{9}{4}}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1 \\ \frac{16}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = \frac{4}{9} \\ \frac{16}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \end{matrix}$ Sottraendo la seconda dalla prima: $\frac{1}{a^{2}} - \frac{16}{a^{2}} = \frac{4}{9} - 1 \Rightarrow - \frac{15}{a^{2}} = - \frac{5}{9} \Rightarrow a^{2} = 27$ e $\frac{4}{b^{2}} = 1 - \frac{16}{a^{2}} = 1 - \frac{16}{27} = \frac{11}{27} \Rightarrow b^{2} = \frac{108}{11}$ L'equazione dell'ellisse è: $\frac{x^{2}}{27} + \frac{11 y^{2}}{108} = 1$

Le rette tangenti in P e Q si possono ricavare con le formule di sdoppiamento:

${\begin{matrix} \frac{x_{P} x}{27} + \frac{11 y_{P} y}{108} = 1 \\ \frac{x_{Q} x}{27} + \frac{11 y_{Q} y}{108} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{x}{18} + \frac{11 y}{36} = 1 \\ \frac{4 x}{27} + \frac{11 y}{54} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} r_{P} : 2 x + 11 y - 36 = 0 \\ r_{Q} : 8 x + 11 y - 54 = 0 \end{matrix}$

Per trovare il loro punto di intersezione sottraiamo la seconda dalla prima:

$- 6 x + 18 = 0 \Rightarrow x_{R} = 3$ e $y_{R} = \frac{36 - 2 x_{R}}{11} = \frac{36 - 6}{11} = \frac{30}{11}$

Per l'area del triangolo PQR prima troviamo la base PQ: $\bar{PQ} = \sqrt{{(x_{P} - x_{Q})}^{2} + {(y_{P} - y_{Q})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{3}{2} - 4)}^{2} + {(3 - 2)}^{2}} = \sqrt{\frac{25}{4} + 1} = \frac{\sqrt{29}}{2}$

Poi la distanza da $R (3; \frac{30}{11})$ dalla retta PQ 2x+5y-18=0 (altezza):

$h = \frac{∣ 6 + \frac{150}{11} - 18 ∣}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{∣ 66 + 150 - 198 ∣}{11 \sqrt{29}} = \frac{18}{11 \sqrt{29}}$

E infine l'area:

$Area = \frac{\bar{PQ} \cdot h}{2} = \frac{\sqrt{29}}{2} \cdot \frac{18}{11 \sqrt{29}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{22} ≃ 0.41$